Cauchy Hauptwert < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 24.03.2010 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{2}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] |
Hallo Leute,
also, das gegebene Integral ist jetzt keines aus einer speziellen Aufgabe. Wir hatten mal ein ähnliches durchexerziert und deshalb habe ich das jetzt einfach mal gewählt... mein Problem ist an sich überhaupt das Thema Cauchyscher Hauptwert. Kann mir jemand vielleicht in möglichst einfacher Form (ja, für Doofe um genau zu sein) erklären was das eigentlich ist und wann bzw. wozu ich den brauche. Und dann wäre natürlich auch die Frage, gibt es da ein Schema f was man abarbeiten kann, so dass man den bestimmt? Ich schnalls irgendwie einfach nich. Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
LG, chip
|
|
| |
|
Hiho,
also "einfach" erklärt machst du nun folgendes:
Du trennst das Integral an der kritischen Stelle auf, die ist hier 0, also:
[mm]\integral_{-1}^{2}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
$= [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x} dx}$
[/mm]
Nun ist das Integral ja an 0 nicht definiert, also schauen wir uns die Teilintegrale ein kleines Stückchen links und rechts davon an und lassen diese "kleine Stückchen", gegen 0 laufen, also:
$= [mm] \lim_{h\to 0+}\integral_{-1}^{-h}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{+h}^{2}{\bruch{1}{x} dx}$
[/mm]
Da nun [mm] $h\not= [/mm] 0$ gilt, können wir die Integrale berechnen:
$= [mm] \lim_{h\to 0+}( [\ln{|x|}]_{-1}^{-h} [/mm] + [mm] [\ln{|x|}]_{h}^{2})$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0+}(\ln{h} [/mm] - [mm] \ln{1} [/mm] + [mm] \ln{2} [/mm] - [mm] \ln{h})$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0+} \ln{2} [/mm] = [mm] \ln{2}$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 24.03.2010 | | Autor: | chipbit |
Hey, vielen Dank. Das hat mir schon sehr weiter geholfen.
Also macht man das quasi immer, wenn man ein Integral hat was dann so eine kritische Stelle hat?
Lg, Chip
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://www.unibw.de/rz/dokumente/public/getFILE?fid=bs_945973
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 24.03.2010 | | Autor: | chipbit |
Ah, okay, vielen Dank!
Das hat den Rest dann auch geklärt. :)
|
|
|
|
