Cauchy Integral < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx} [/mm] |
Hallo,
ich benötige die Polstellen:
[mm] x^2+1=0 \gdw x^2=-1 \gdw z_0= [/mm] i, [mm] z_1=-i
[/mm]
[mm] x^2+1 \gdw [/mm] (x+i)(x-i)
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x+i)(x-i)(x+i)(x-i)} dx}
[/mm]
jetzt [mm] z_0=i
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{sin(z)}{(z+i)(z+i)}=2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{iz}}{(z+i)(z+i)} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}= 2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{-1}}{4i^2} [/mm] = [mm] \frac{-\pi i}{2e}
[/mm]
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich benötige die Polstellen:
>
> [mm]x^2+1=0 \gdw x^2=-1 \gdw z_0=[/mm] i, [mm]z_1=-i[/mm]
> [mm]x^2+1 \gdw[/mm] (x+i)(x-i)
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x+i)(x-i)(x+i)(x-i)} dx}[/mm]
>
> jetzt [mm]z_0=i[/mm]
>
> = [mm]2\pi[/mm] i [mm]\frac{sin(z)}{(z+i)(z+i)}=2\pi[/mm] i
> [mm]\frac{e^{iz}}{(z+i)(z+i)}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i
> [mm]\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}= 2\pi[/mm] i [mm]\frac{e^{-1}}{4i^2}[/mm] =
> [mm]\frac{-\pi i}{2e}[/mm]
Da es sich bei den Polstellen, um solche der Ordnung 2 handelt,
benötigst Du die Ableitung von
[mm]\bruch{e^{ix}}{\left(x+i\right)^{2}}[/mm]
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich kann doch folgenden Ansatz wählen?
[mm] res_i [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(2-1)!}\frac{d^{2-1}}{d_z^{2-1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2} [/mm] ] z=i
=2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{iz}}{(z+1)(z-i)(z+i)(z-i)} [/mm] ] z=i
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)} [/mm] ]
=2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{-1}}{(4i^2)} [/mm] ]
= [mm] 2\pi [/mm] i *1 [mm] \frac{d^{1}}{d_z^{1}} -[\frac{1}{(4e)} [/mm] ]
jetzt ableiten... nach x...
geht nicht... daher ergebnis [mm] -\frac{\pi i }{2e}
[/mm]
Das wäre die Variante die ich jetzt hier machen würde
wenn ich die ableitung brauche
dann habe ich nach x abgeleitet:
[mm] \frac{x*e^{ix}*(x^2+1)^2-2(x^2+1)2x*e^{ix}}{(x^2+1)^4}
[/mm]
Bitte um Rückmeldung!
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Ich kann doch folgenden Ansatz wählen?
>
> [mm]res_i[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{(2-1)!}\frac{d^{2-1}}{d_z^{2-1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}[/mm]
> ] z=i
>
> =2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{iz}}{(z+1)(z-i)(z+i)(z-i)}[/mm]
> ] z=i
>
Jetzt mußt Du den Ausdruck
[mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]
ableiten.
Und dann kannst Du z=i setzen.
> = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}[/mm]
> ]
>
> =2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{-1}}{(4i^2)}[/mm]
> ]
>
> = [mm]2\pi[/mm] i *1 [mm]\frac{d^{1}}{d_z^{1}} -[\frac{1}{(4e)}[/mm] ]
>
> jetzt ableiten... nach x...
>
> geht nicht... daher ergebnis [mm]-\frac{\pi i }{2e}[/mm]
>
> Das wäre die Variante die ich jetzt hier machen würde
>
>
> wenn ich die ableitung brauche
>
> dann habe ich nach x abgeleitet:
>
> [mm]\frac{x*e^{ix}*(x^2+1)^2-2(x^2+1)2x*e^{ix}}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
Das ist der falsche Ausdruck, den Du da abgeleitet hast.
Ableiten mußt Du
[mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]
>
> Bitte um Rückmeldung!
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] \bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}
[/mm]
nach z abgeleitet:
Kann ich hier LHospital anwenden oder muss ich hier Quotientenregel beachten?
Grüße
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Hallo Bodo,
>
>
> [mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]
>
> nach z abgeleitet:
>
> Kann ich hier LHospital anwenden ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
de l'Hôpital ist doch keine Ableitungsregel ...
> oder muss ich hier Quotientenregel beachten? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings habe ich 2 andere Bedenken ...
Zum einen ist der Integrand ja ungerade, wieso ist also [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}\text{bla}=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\text{bla}$
[/mm]
Gilt das nicht für gerade Integranden?
Zum anderen ist [mm] $\sin(z)=Im(e^{iz})$, [/mm] ich würde sagen, dass [mm] Im\left(\int{\frac{e^{iz}}{\text{blubb}} \ dz}\right)$ [/mm] zu berechnen ist ...
Hmmm ....
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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