Cauchy Integralsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Johman |
Hi.
habe eine Verständnisfrage und wäre begeistert, wenn ihr mir helfen könntet das ganze zu kapieren.
also:
1.)definiert man stetige wege im komplexen um darüber das komplexe integral auf ein reelles intervall reduzieren zu können?
2.) der cauchy integral satz besagt ja, dass das integral über einer komplexen funktion 0 ist, wenn der anfangs und endpunkt des weges über dem integriert wird gleich ist,wenn der weg durch ein zusammenhängendes gebiet läuft.
habe ich das so richtig verstanden?dann heisst das doch nicht anderes (im reelllen) das [mm] \integral_{a}^{a} [/mm] {f(x) dx}=0 oder?
vielen dank schon mal im vorraus und nen netten gruss johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Johman!
> 1.)definiert man stetige wege im komplexen um darüber das
> komplexe integral auf ein reelles intervall reduzieren zu
> können?
Nein, das kann man so nicht sagen. Andersherum: Man hat in [mm] $\IC$ [/mm] zwischen zwei Punkten eine ganze (überabzählbare) Familie stückweise differenzierbarer Wege, und es ist möglich dafür ein Integral zu definieren, welches (und das ist entscheidend) wohldefiniert ist, also nicht von der Parametrisierung des Weges abhängt. Wohl aber hängt es im Allgemeinen nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt, sondern vom Weg selbst ab.
> 2.) der cauchy integral satz besagt ja, dass das integral
> über einer komplexen funktion 0 ist,
Du meinst holomorphe (komplex differenzierbare) Funktionen.
> wenn der anfangs und
> endpunkt des weges über dem integriert wird gleich ist,wenn
> der weg durch ein zusammenhängendes gebiet läuft.
Zusammenhängend reicht nicht (stell dir einen Kreisring vor, der ist auch zusammenhängend!). Du meinst wohl "einfach zusammenhängend" (=jeder Zyklus ist nullhomolog) oder aber die einfacherer Version, nämlich den Cauchyschen Integralsatz für konvexe Gebiete.
> habe ich das so richtig verstanden?dann heisst das doch
> nicht anderes (im reelllen) das [mm]\integral_{a}^{a}[/mm] {f(x)
> dx}=0 oder?
Naja, kann man so vielleicht sagen, ist aber schon sehr weit hergeholt. Du meinst, weil dieser konstante Weg in [mm] $\IR$ [/mm] auch ein geschlossener Integrationsweg ist. ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Von mir aus... 
Viele Grüße
Stefan
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