Cauchy Kriterium. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag!
Hänge mal wieder fest beim Thema Folgen und Reigen mit dem Cauchy Kriterium.
Folgende Folge ist gegeben: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]^{3^n+5^n} [/mm] Diese Folge besitzt den Grenzwert a=5.
Absolout unerklärlich für mich ist der nächste Schritt.
[mm] \wurzel[n]^{5^n} \le \wurzel[n]^{3^n+5^n} \le \wurzel[n]^{5^n+5^n}
[/mm]
Das dieser Ausdruick stimmt ist mir klar, weil [mm] \wurzel[n]^{5^n} [/mm] =5 ist und [mm] \wurzel[n]^{5^n+5^n} [/mm] wegen [mm] \wurzel[n]^{2} [/mm] *5 wegen [mm] \wurzel[n]^{2} \to [/mm] 1 auch 5 ergibt. Wenn jetzt -5 gerechnet wird ist der Grenzwert ja schließlich bekannt. Die Frage folgt zu : Wie zum Teufel kommt man bitte auf diese Ungleichung bzw auf die beiden "Enden" [mm] \wurzel[n]^{5^n} [/mm] und [mm] \wurzel[n]^{5^n+5^n}. [/mm] Ich glaube dort hapert es am Verständnis des Cauchy Kriteriums. Deßhalb bitte ich auch noch um eine kleine Erklärung dieses Phänomens, aber bitte in humaner Art und Weise .. Verzweifel nämlich gerade daran..
Vielen Dank im Vorraus!
Gruß Jan
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> Absolout unerklärlich für mich ist der nächste Schritt.
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> [mm]\wurzel[n]^{5^n} \le \wurzel[n]^{3^n+5^n} \le \wurzel[n]^{5^n+5^n}[/mm]
Hallo,
wenn ich Deine Frage richtig verstehe, hat die Antwort darauf nichts mit Cauchy zu tun, sondern lediglich mit einer kleinen Erweiterung des gesunden Menschenverstandes.
Wenn Du Dir die Summe 37 + 2 anschaust, wirst Du mit mir einig sein, daß wir sie nach oben und unten wie folgt abschätzen können:
[mm] 37\le 37+2\le [/mm] 37+37.
Genauso können wir das mit [mm] 3^n+5^n [/mm] machen:
[mm] 5^n\le 3^n+5^n\le 5^n+5^n.
[/mm]
Nun muß man noch wissen, daß die n-te Wurzel monoton wachsend ist und erhält hieraus
[mm] \wurzel[n]{5^n}\le \wurzel[n]{3^n+5^n}\le \wurzel[n]{5^n+5^n}.
[/mm]
Ich rate mal, daß Ihr als nächstes den Grenzwert gebildet habt, und so [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+5^n} [/mm] von oben und unten eingequetscht.
Gruß v. Angela
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wow.. zunächst einmal danke für die schnelle Antwort.
Eine Frage habe ich trotzdem noch .
$ [mm] 5^n\le 3^n+5^n\le 5^n+5^n. [/mm] $ wieso nimmt man hier nicht anstatt [mm] 5^n [/mm] am Anfang zB. [mm] 3^n [/mm] .. würde dann ja auch stimmen.. ?
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> wow.. zunächst einmal danke für die schnelle Antwort.
> Eine Frage habe ich trotzdem noch .
> [mm]5^n\le 3^n+5^n\le 5^n+5^n.[/mm] wieso nimmt man hier nicht
> anstatt [mm]5^n[/mm] am Anfang zB. [mm]3^n[/mm] .. würde dann ja auch
> stimmen.. ?
Man macht das nicht, weil man sowohl zielstrebig als auch intelligent ist...
Wenn wir nämlich so abschätzen
[mm] \wurzel[n]{3^n}\le \wurzel[n]{3^n+5^n}\le \wurzel[n]{5^n+5^n}
[/mm]
und dann den Grenzübergang ausführen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+5^n}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{5^n+5^n},
[/mm]
erhalten wir
[mm] 3\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3^n+5^n}\le [/mm] 5,
was uns noch nicht so sonderlich erhellt.
Gruß v. Angela
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Die Ungleichung an sich verstehe ich ja...
ICh verstehe das Prinzip des Cauchy Kriteriums einfahc nicht! Ich will nur das erklärt haben . :(
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> ICh verstehe das Prinzip des Cauchy Kriteriums einfahc
> nicht! Ich will nur das erklärt haben . :(
Hallo,
ich muß nun nochmal nachfragen:
verstehst Du das Cauchykriterium nicht, von welchem ich gar nicht so direkt sehe, daß das in Deiner Aufgabe verwendet wurde,
oder verstehst Du das "Einquetschen" des Grenzwertes, das, was man gerne Sandwichtheorem nennt, nicht?
Kannst Du nochmal ganz genau sagen, was Du nicht verstehst?
Gruß v. Angela
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ganz klar verstehe ich das cauchy kriterium nicht. Das Einquetschen des Grenzwertes ist mir klar.
Genauer gesagt folgende RegeL:
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m [mm] \ge N(\varepsilon [/mm] )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 So 16.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier wurde doch der "Sandwichsatz" verwendet. Wie kommst du dann hier auf Cauchy?
Cauchy sagt doch nur aus, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] m>n>N gibt, so dass [mm] $|a_m-a_n|<\epsilon$
[/mm]
Was genau verstehst du daran nicht?!
LG
Kroni
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genau deine genannte Regel verstehe ich nicht. !!! Über deinem post habe ich sie auch nochmal hingeschrieben . In unserem Script steht dieses Beispiel, welches ich am anfang gepostet habe direkt unter der Cauchy Definition, welche ich nicht verstehe. Mir ist klar, dass wenn es einen Grenzwert gibt, gelten muss [mm] a_{n} [/mm] - a (Grenzwert) < [mm] \varepsilon [/mm] .
Unklar ist mir hingegen : [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle m,n [mm] \ge \varepsilon. [/mm] Verdammt Scheiße!!! Das darf doch nicht wahr seind, dass es nicht in meinen Schädel geht! Ich glaube ich hab heute ein ganz großes Brett vorm Kopf!!!!
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Hallo,
zur Cauchyfolge:
eine Folge heißt Cauchyfolge, wenn die Folgenglieder beliebig dicht zusammenrücken.
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es als einen Schwellenwert N, ab welchem sämtliche drauffolgenden Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinander liegen.
Formal:
[mm] (a_n) [/mm] ist Cauchyfolge
<==>
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N (in Abhängigkeit v. [mm] \varepsilon) [/mm] so, daß für alle m,n [mm] \le [/mm] N gilt:
[mm] |a_n-a_m| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Sobald also der Schwellenwert N überschritten ist, liegen die Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinander.
Die Besonderheit in [mm] \IR [/mm] ist nun folgende:
Jede reelle Cauchyfolge konvergiert.
Was bedeutet das? Wenn Du für eine reelle Folge nachweisen kannst, daß sie Cauchyfolge ist, weißt Du, daß sie konvergiert. Du kannst also hiermit die Konvergenz einer reellen Folge nachweisen, ohne den Grenzwert zu kennen.
Gruß v. Angela
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