Cauchy Kriterium < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 24.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{sinx}{x}dx} [/mm] zwar konvergiert (Cauchy Kriterium), aber nicht absolut konvergiert. |
Hallo
ich weiß: Bei Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\integral_{a}^{b}{f_n(x) dx}) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}({ \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x))dx}. [/mm] Dabei ist [mm] f_n [/mm] eine Folge einer reellen Funktion, die im Intervall[a,b] integrierbar ist. Die Folge muß gleichmäßig im Intervall [a,b] konvergieren.
Mein Problem: Welche Folge nehme ich denn für [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] im Intervall [mm] [\pi,\infty] [/mm] ? Damit wäre erst mal das Problem Cauchy-Konvergenz gegessen. Ich hoffe dass ich dann auch mit dem 2.Teil der Frage, "nicht absolut konvergiert" selbst klar komme.
Wer kann mir weiterhelfen? Bin sehr dankbar dafür.
Viele Grüße
didi_160
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hallo,
wenn man diese die Taylorreihe dieser Funktíon bildet, dann sieht die Reihe so aus
[mm] \bruch{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n+1)!} [/mm] und wenn man das integriert dann ergibt sich
[mm] \bruch{(-1)^{n}x^{(2n+1)}}{(2n+1)(2n+1)!}
[/mm]
also bei Cauchy folge ist es so , du nimmst bestimmte Anzahl von Gliedern und guckst ob die Summe dieser Glieder beliebig kleiner wird, wenn ja dann konvergent wenn nein dann divergent
jetzt wenn du bei dieser folge schaust , dass die Reihe abwechselnd mit Gegenzeichen vorkommt
man kann shcon aus dieser Argumantation schätzen dass die Reihe konvergiert(also die Summe der glieder werden immer kleiner)
was absolut konvergenz angeht , schaust du nur im Betrag an
weil alla Glieder im Betrag sind , sind alle positiv .
wenn die aufsummiert werden dann kriegt man einen Wert grösser als 1 und das reicht schon dass die Reihe divergiert
ich denke mal dass ich dich einbisschen erleuchert habe
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Hallo,
diese Antwort widerspricht der Aufgabenstellung. Diese Reihe soll konvergieren, nicht absolut konvergieren!
Außerdem ist sie eher inakzeptabel. Die Taylorreihe bis zu welcher Ordnung hast du gebildet? Wo ist das Restglied? Argumentierst du wirklich mit dem Cauchy-Kriterium? Ich glaube kaum! Was besagt das denn? Man lese ![[]](/images/popup.gif) hiernach!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 26.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{sin x}{x} dx} [/mm] ist konvergent. |
Hallo,
im HEUSER S. 87 bin ich auf eine Zeile gestoßen mit der ich nichts anfangen kann. Er schreibt sinngemäß: for 0<s<t erhält man nach partieller Integration
[mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{sin x}{x} dx}=[ -\bruch{cos x}{x}] [/mm] Obergrenze:t, Untergrenze:s - [mm] \integral_{s}^{t}{ \bruch{cos x}{x^2} dx}.
[/mm]
Das ist richtig.
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Weiter schreibt er: Also ist [mm] |\integral_{s}^{t}{ \bruch{sin x}{x} dx}| \le \bruch{1}{s}+\bruch{1}{t}+\integral_{s}^{t}{ \bruch{dx}{x^2}}= \bruch{1}{s}+\bruch{1}{t} +[-\bruch{1}{x}] [/mm] Obergrenze:t, Untergrenze:s = [mm] \bruch{2}{s}.
[/mm]
__________________________________________________________
Weiter schreibt er: [mm] \bruch{2}{s} [/mm] bleibet für alle [mm] s>s_0:=2/\epsilon [/mm] gewiß < [mm] \epsilon.
[/mm]
Meine Frage. Was macht er denn mit dem Cosinus ???? Kann mir jemand die Frage beantworten?
Besten Dank im Voraus.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mi 26.07.2006 | | Autor: | SEcki |
> Meine Frage. Was macht er denn mit dem Cosinus ???? Kann
> mir jemand die Frage beantworten?
[m]|\cos |\le 1[/m]
SEcki
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