Cauchy Produkt div. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 20.04.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Cauchy Produkt zweier divergenter Reihen konvergent seihen kann. |
Hallo Wissende! :)
Wie kann ich zeigen, dass das C-Produkt zweier divergenter Reihen konvergiert?
sei [mm] a_{n}=1-\bruch{3}{2}-(\bruch{3}{2})^{2}-(\bruch{3}{2})^{3} [/mm] .... (divergent) und
[mm] b_{n}=1+(2+\bruch{1}{2^{2}})+\bruch{3}{2}(2^{2}+\bruch{1}{2^{3}})+(\bruch{3}{2})^{2}(2^{3}+\bruch{1}{2^{4}})...
[/mm]
warum ist das Produkt konvergent?
Versuche schon seit einer geschlagenen Stunde das auf eine Potenzreihe zurückzuführen (so müsste der Beweis am einfachsten gehen), bisher jedoch ohne Erfolg :(
vielleicht kann mir ja jemand hier helfen!
lg
Chris
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:42 So 20.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke es geht prinzipiell so: Für endliche Summen ist
[mm] $\left(\sum_{j=0}^na_n\right)\left(\sum_{k=0}^nb_n\right)=\sum_{j,k=0}^na_jb_k=\underbrace{\left(\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^ja_kb_{j-k}\right)}_{\text {''endliches'' Cauchy-Produkt } C_n}+\underbrace{\left(\sum_{j=1}^n\sum_{k=n-j+1}^na_jb_{k}\right)}_{\text{''Rest'' }R_n}$
[/mm]
Existiert [mm] $\lim_{n\to\infty}C_n$, [/mm] so konvergiert das Cauchy-Produkt. Konvergiert außerdem [mm] $R_n\rightarrow0$, [/mm] so konvergiert das Cauchyprodukt gegen das Produkt der Grenzwerte der Ausgangsreihen.
Du musst eigentlich "nur" [mm] $\lim_{n\to\infty}C_n<\infty$ [/mm] zeigen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 20.04.2008 | | Autor: | chrisi99 |
hi!
Danke für den Tipp!
Mein Problem ist es eher die richtige Reihendarstellung für das Produkt zu finden.
Hat jemand eine schöne Potenzreihe für [mm] c_{n} [/mm] ? :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
bei Dir ist [mm] $\sum a_n=1+\sum_{n=1}^\infty -\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ [/mm] und [mm] $\sum b_n=1+\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \left(2^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right)$
[/mm]
D.h.:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] ist gegeben mit
[mm] $a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n =0\\ -\left(\frac{3}{2}\right)^{n}, & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
und
[mm] \sum_{n=0}^\infty b_n [/mm] ist gegeben mit
[mm] $b_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n =0\\ \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \left(2^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right), & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
Dann ist (für $n [mm] \ge [/mm] 1$)
[mm] $c_n=\sum_{k=0}^n a_{k}b_{n-k}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \left(2^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \left(2^{n-k}+\frac{1}{2^{n-k+1}}\right)-\left(\frac{3}{2}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}*\left(\left[2^n-\sum_{k=1}^{n-1} 2^k\right]+\left[\frac{1}{2^{n+1}}-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^k}\right]-\frac{3}{2}\right)$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $(x-1)*\sum_{k=0}^n x^n=x^{n+1}-1$ [/mm] und daher
[mm] $\sum_{k=1}^{n-1} 2^k=2^{n}-2$ [/mm] sowie
[mm] $\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{n-2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}=\frac{1}{4}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-1}{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$
[/mm]
Setz das mal ein, und in der Hoffnung, mich nicht verrechnet zu haben (die folgende Abschätzung startet extra ab $n=1$):
[mm] $\sum_{n=1}^\infty |c_n| \le \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\frac{2*2^{n+1}}{2^{2n}}=2\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}*\frac{1}{2^{n-1}}$
[/mm]
Überlege Dir, wie Du [mm] $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}*\frac{1}{2^{n-1}}$ [/mm] umschreiben könntest, um die Konvergenz der letzten Reihe einzusehen (und damit nach dem Majo-Kr. auch die abs. Kgz. der [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n$, [/mm] weil bei einer Reihe die Addition endlich vieler Summanden nichts am Kgz.-Verhalten der Reihe ändern).
P.S.:
Natürlich kannst Du auch die [mm] $c_n$ [/mm] mal ganz genau ausrechnen, also auch [mm] $c_0=1$ [/mm] benutzen, aber das obige sollte auch genügen (sofern ich keine Rechenfehler habe).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 23.04.2008 | | Autor: | chrisi99 |
wow danke Marcel!
muss ich mir jetzt zwar erst einmal anschauen, wirkt aber schon sehr durchdacht! :)
lg
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