Cauchy Schwarz Ungleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mi 18.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Behauptung: [mm] |x*y|\le|x||y| [/mm] |
Beweis: Mit Umformungen erhält man für [mm] |x*y|=\wurzel{\summe_{k=1}^{n}{x_k^2*y_k^2}} [/mm] sowie für [mm] |x||y|=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}{(y_j^2\summe_{k=1}^{n}{x_k^2)}}}.
[/mm]
Zu finden ist nun ein Term t(x,y), für den gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}x_k^2*y_k^2 \le [/mm] t [mm] \le \summe_{j=1}^{n}y_j^2\summe_{k=1}^{n}x_k^2.
[/mm]
Für [mm] t(x,y)=\summe_{k=1}^{n}{\bruch{y_k^2\summe_{j=1}^{n}{x_j^2}}{x_{k+1}^2}}.
[/mm]
Leider gibt es bei dem Term ein Problem. Es kann nämlich [mm] x_{k+1}=0 [/mm] sein und über den Index n hinauslaufen.
Frage:Ist ein solcher Termin "leicht" zu finden oder sollte ich einen anderen Weg wählen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Behauptung: [mm]|x*y|\le|x||y|[/mm]
>
> Beweis: Mit Umformungen erhält man für
> [mm]|x*y|=\wurzel{\summe_{k=1}^{n}{x_k^2*y_k^2}}[/mm] sowie für
> [mm]|x||y|=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}{(y_j^2\summe_{k=1}^{n}{x_k^2)}}}.[/mm]
>
> Zu finden ist nun ein Term t(x,y), für den gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}x_k^2*y_k^2 \le[/mm] t [mm]\le \summe_{j=1}^{n}y_j^2\summe_{k=1}^{n}x_k^2.[/mm]
wieso? Was machst Du denn hier?
> Für
> [mm]t(x,y)=\summe_{k=1}^{n}{\bruch{y_k^2\summe_{j=1}^{n}{x_j^2}}{x_{k+1}^2}}.[/mm]
>
> Leider gibt es bei dem Term ein Problem. Es kann nämlich
> [mm]x_{k+1}=0[/mm] sein und über den Index n hinauslaufen.
> Frage:Ist ein solcher Termin "leicht" zu finden oder
> sollte ich einen anderen Weg wählen?
Ich hab' keine Ahnung, was Du machen willst. Es gibt verschiedene Wege, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung herzuleiten. (Dazu findet man auch vieles bei Wikipedia.)
Eine Herleitung (meine "Lieblingsherleitung - man findet sie etwa in D. Werners Buch über Funktionalanalysis") benutzt etwa insbesondere die Konkavität des Log. naturalis - bzw. die Konvexität der Exponentialfunktion.
Bei Wiki findet man eine Herleitung, die sich meiner Meinung nach gut für Erstsemester eignet - schau' Dir die Herleitung mit dem "allgemeinen Skalarprodukt - reeller Fall" bei Wiki an, die kann man hier übertragen:
1.) Klar ist, dass $|x [mm] \cdot [/mm] y| [mm] \le [/mm] |x| [mm] \cdot |y|\,$ [/mm] äquivalent ist zu $|x [mm] \cdot y|^2 \le |x|^2 \cdot |y|^2\,.$
[/mm]
(Warum? Weil für $r,s [mm] \red{\;\ge\;}0$ [/mm] gilt $r [mm] \le [/mm] s [mm] \gdw r^2 \le s^2\,.$ [/mm] Genauer: "Die Funktion [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ist auf der [mm] nichtnegativen-$x\,$-Achse [/mm] streng monoton wachsend! ")
2.) Für (jedes(!)) [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] haben wir zudem
$$0 [mm] \le |x-\lambda y|^2=|x|^2-2 \lambda \red{(}x \cdot y\red{)}+\lambda^2 |y|^2\,.$$
[/mm]
[Bemerkung: Auch dies kann man ganz elementar herleiten (ich benutze schon die gleich eingeführte Kurznotation!):
[mm] $$|x-\lambda y|^2=\sum (x_k-\lambda y_k)^2=\sum \left\{x_k^2-2\lambda (x_ky_k)+\lambda^2 y_k^2\right\}=\ldots$$
[/mm]
Das nun zu Ende zu rechnen, ist fast banal, wenn man mit dem Summenzeichen rechnen gelernt hat!]
Dabei ist dann mit der Kurznotation [mm] $\sum:=\sum_{k=1}^n$ [/mm] sodann
[mm] $|x|^2=\sum x_k^2\,,$ $|y|^2=\sum y_k^2$ [/mm] und $x [mm] \cdot y=\sum (x_k y_k)\,.$
[/mm]
Setze nun [mm] $\lambda:=\sum (x_ky_k)/\sum y_k^2 \in \IR$ [/mm] dort ein - natürlich geht das nur für $|y| [mm] \not=0\,,$ [/mm] aber weil [mm] $|y|=0\,$ [/mm] genau dann wenn [mm] $y=0\,$ [/mm] (d.h. [mm] $y_k=0$ [/mm] für [mm] $k=1,\;\ldots,n$), [/mm] behandelst Du halt danach den Fall [mm] $y=0\,$ [/mm] gesondert (und siehst, dass die Behauptung für den Fall [mm] $y=0\,$ [/mm] (bzw. [mm] $|y|=0\,$)) [/mm] eh trivialerweise gilt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mi 18.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Naja, wenn ich weiß, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] x
sowie
[mm] x^2
Also zu den ersten Umformungen:
[mm] |x\cdot{}y|=\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}*\wurzel{y_1^2+...+y_n^2}=\wurzel{(x_1^2+...+x_n^2)*(y_1^2+...+y_n^2)}=\wurzel{(x_1^2*y_1^2+x_2^2*y_1^2+...+x_n^2*y_1^2)+...+(x_1^2*y_n^2+...+x_n^2*y_n^2)}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}{(y_j^2\summe_{k=1}^{n}{x_k^2)}}}
[/mm]
Linker Term:
[mm] \wurzel{x_1^2*y_n^2+...+x_n^2*y_n^2}=\wurzel{\summe_{k=1}^{n}{x_k^2\cdot{}y_k^2}}
[/mm]
Nun habe ich mir überlegt, ob es einen Term zwischen [mm] x_1^2*y_n^2+...+x_n^2*y_n^2 [/mm] und [mm] y_1^2(x_1^2+...+x_n^2)+y_2^2(x_1^2+...+x_n^2)+...+y_n^2(x_1^2+...+x_n^2) [/mm] gibt.
Wenn man zweiten Term ausmultpliziert, sieht man, dass alle Summanden des ersten Termes enthalten sind. Daher wollte ich diese Summanden erhalten, und den nächsten herauskürzen (daher durch [mm] x_{k+1} [/mm] teilen). Da alle Summanden positiv sind, kann man so beide Terme abschätzen.
Also:
[mm] \bruch{x_1^2*y_1^2+x_2^2*y_1^2+...+x_n^2*y_n^2}{x_2^2}+\bruch{x_1^2*y_2^2+...+x_n^2*y_n^2}
[/mm]
So stimmt es natürlich nicht, da man ja jeden Bruch noch aufteilen kann und somit folgt:
[mm] \bruch{(x_1^2*y_1^2)/x_2^2}+... [/mm] Man verändert also auch den Wert [mm] x_k^2*y_k^2, [/mm] der ja gleich bleiben soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja, wenn ich weiß, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]x
> sowie
> [mm]x^2
> ich mir einen Term konstruieren,
dann hast Du schon verloren:
1.) Wie könnte es gemäß Deinem Schema denn sein, dass [mm] $|q|^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] wenn $-1 < q < [mm] 1\,$ [/mm] eine feste Zahl in [mm] $\IR$ [/mm] ist?
(Es gilt sogar [mm] $c^n \to 0\,,$ [/mm] wenn $c [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|c| < [mm] 1\,$ [/mm] ist!)
2.) Für $x=-2$ gilt $-2 < [mm] (-2)^2=4\,,$ [/mm] aber [mm] $(-2)^2=4 \;\red{<}\;(-2)^3=-8$ [/mm] ist FALSCH!
Wie gesagt: Selbst für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt nur [mm] $x^n [/mm] < [mm] x^{n+1}\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}\,,$ [/mm] wenn $x > [mm] 1\,$ [/mm] ist. Die Ungleichung kann nämlich für [mm] $x=0\,$ [/mm] nicht gelten, und für $x > 0$ ist auch [mm] $x^n [/mm] > 0$ und daher gilt dann [mm] $x^n [/mm] < [mm] x^{n+1} \gdw x^n/x^n [/mm] < [mm] x^{n+1}/x^n \gdw [/mm] 1 < [mm] x^{n+1-n} \gdw [/mm] 1 < [mm] x\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 18.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Es ist schon spät und ich kann jetzt nicht wirklich mehr einen klaren Gedanken fassen, frage aber jetzt doch einmal:
Die Elemente des n-tupels sind ja Elemente der reelen Zahlen. Die Wurzel ist immer positiv, da jedes x quadriert wird. Somit könnte man doch nach meinem Ansatz einen Term finden, der dazwischen liegt, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist schon spät und ich kann jetzt nicht wirklich mehr
> einen klaren Gedanken fassen, frage aber jetzt doch
> einmal:
> Die Elemente des n-tupels sind ja Elemente der reelen
> Zahlen.
sofern ihr etwa den [mm] $\IR^n$ [/mm] betrachtet: Ja. (Die Zahlen sind nur nicht reel, sondern reell. Keine Ahnung, warum, aber hier im Forum geht ständig das eine [mm] $\ell$ [/mm] verloren...) Im [mm] $\IC^n$ [/mm] wäre aber das Skalarprodukt auch anders... (da stünde dann "konjugiert komplexes" mit dabei), daher gehe ich mal davon aus. Außerdem betrachtet ihr anscheinend "das Standardskalarprodukt und die Standardnorm" auf dem [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
> Die Wurzel ist immer positiv, da jedes x quadriert
> wird. Somit könnte man doch nach meinem Ansatz einen Term
> finden, der dazwischen liegt, oder nicht?
Zwischen was? Und dass für alle [mm] $n\,$ [/mm] die Ungl. [mm] $x^n [/mm] < [mm] x^{n+1}$ [/mm] für $x [mm] \ge 0\,$ [/mm] nur im Falle $x > 1$ gilt (sogar "genau dann"), habe ich doch schon begründet.
Du kannst nicht $x < [mm] x^2 [/mm] < [mm] x^3 [/mm] < ...$ folgern, wenn Du nur $x [mm] \ge [/mm] 0$ annimmst: Probier's mal mit [mm] $x=1/2\,,$ [/mm] dort gilt
$$1/2 [mm] \;\red{>}\; 1/4=(1/2)^2 \;\red{>}\; 1/8=(1/2)^3 \;\red{>}\; 1/16=(1/2)^4 \;\red{>}\; \ldots$$
[/mm]
Also: Was willst Du mit diesem Ansatz, der ja eh schon i.a. falsch ist, nun überhaupt noch zeigen?
Versuch's doch erstmal mit dem Wege, den ich Dir vorgeschlagen habe. Der funktioniert definitiv. Und danach kannst Du versuchen, selbst einen Beweis zu kreieren: Aber bitte dann nicht mit Annahmen, die nicht tragbar (also falsch!) sind!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 19.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Wenn 1<2 und 2<4, dann folgt doch 1<4. Wenn für alle x [mm] \in \IR [/mm] gelten würde [mm] x
Nach diesem Schema möchte ich eben auch einen Term finden, der dazwischen liegt(die Exponenten sind ja alle gerade):
[mm] a^2*b^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2
[/mm]
außerdem gilt [mm] a^2*b^2+c^2*d^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2+e^2*f^2,
[/mm]
also auch [mm] a^2*b^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2+e^2*f^2. [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Do 19.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn 1<2 und 2<4, dann folgt doch 1<4.
ja und? Sehr schön: Sowas nennt man Transitivität!
> Wenn für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> gelten würde [mm]x
Wenn das Wörtchen wenn nicht wäre... aber es ist nun halt da!
> Das
> Gegenbeispiel funktioniert ja nur, da die Bedingung [mm]x^2
> nicht für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt.
Das Gegenbeispiel (eigentlich habe ich ja mehr als eins gegeben) funktioniert, weil die Behauptung einfach falsch ist!
> Wenn man beweisen müsste,
> dass [mm]x^2<3x^2[/mm] gilt.
Och man: Und was willst Du mir nun sagen? In der Tat, das gilt sogar für jedes $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Denn es ist $1 < [mm] 3\,.$
[/mm]
> Dann kann man doch sagen, dass [mm]x^2\le 2x^2[/mm]
> und [mm]2x^2<3x^2[/mm] gilt. Also hat man einen Term gefunden, der
> für jedes x [mm]\in \IR[/mm] "dazwischen" liegt.
Toll: Wir wissen nun, dass es zwischen [mm] $1\,$ [/mm] und [mm] $3\,$ [/mm] noch mehr Zahlen gibt.
> Mit obigen Axiom
> folgt dann, dass auch [mm]x^2<3x^2[/mm] gilt.
> Nach diesem Schema möchte ich eben auch einen Term finden,
> der dazwischen liegt(die Exponenten sind ja alle gerade):
> [mm]a^2*b^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2[/mm]
Ich weiß nicht, worauf Du hinaus willst. Bisher schreibst Du echt nur Trivialitäten: Dass [mm] $c^2 d^2 \ge [/mm] 0$ für alle $c,d [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, ist wieder so eine...
> außerdem gilt [mm]a^2*b^2+c^2*d^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2+e^2*f^2,[/mm]
>
> also auch [mm]a^2*b^2 \le a^2*b^2+c^2*d^2+e^2*f^2.[/mm]
Ja - im Endeffekt steht da sowas, dass die Summe der Quadrate zweier reeller Zahlen [mm] $\ge 0\,$ [/mm] bleibt - weil die Summe zweier nichtnegativer Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ bleibt. Nur: Was bringt Dir das bei dem Beweis?
Also nochmal:
Ich habe Dir eine Möglichkeit gezeigt, wie man den Beweis führen kann. Da steht alles drin, man muss es nur noch "zusammenschreiben".
Ich zweifle nicht daran, dass man die Ungleichung auch noch auf anderem Wege beweisen kann. Aber wenn man ein neues "Beweiskonzept" erstellen will, dann muss es schon irgendwie durchdacht sein, und nicht "irgendwie" zusammengebaut werden:
Natürlich kannst Du mir erzählen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt - dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Banachraum ist (mit der vom Betrag induzierten Norm). Das ist toll. Auch kannst Du mir sagen, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] irrational ist, und dass das zeigt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] nicht Banach sein kann - weil man eine Folge in [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] angeben kann, die in [mm] $\IR$ [/mm] gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] konvergiert - und mir das auch alles schön beweisen.
Du kannst mir auch erzählen, dass eine Funktion zwischen topologischen Räumen genau dann stetig ist, wenn Urbilder offener Mengen des Zielraums wieder offen im Definitionsbereich sind. Auch das ist toll - kannst Du mir gerne beweisen.
Nur: In welchem Zusammenhang steht das zu der Aufgabe? Und was hat das mit meinem Hinweis noch zu tun?
Ich meine, Du fängst ungefähr so an: "Naja, wäre $4 > [mm] 9\,,$ [/mm] dann könnte ich doch..."
Schön: Aus was falschem kann man alles folgern. Also kommt mein Einwand: "Aber $4 > [mm] 9\,$ [/mm] ist doch falsch." Und dann argumentierst Du etwa so weiter:
"Ja, aber $4 > [mm] -9\,$ [/mm] stimmt doch. Nur das zweite Vorzeichen ist in meiner Annahme falsch. Damit folgt auch $4 > [mm] -15\,,$ [/mm] weil ..."
Also kurz gesagt:
Wenn Du nicht mal konkret benennst, worauf Du eigentlich hinaus willst (oben sieht das so aus, als wenn Du irgendwann das Sandwischkriterium benutzen willst, um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu beweisen - aber wenn Du sowas machen willst und überzeugt bist, dass das so funktionieren sollte, dann erkläre bitte "WAS WILLST DU MACHEN UND WIESO SOLLTEN DIR DIE GANZEN ARGUMENTE VON OBEN DABEI BEHILFLICH SEIN???").
Und nach wie vor: Führe den Beweis von mir mal komplett durch. Einfach, damit Du mal einen Beweis, von dem man auch weiß, dass alles da richtig gemacht wurde, durchgeführt hast. Einen neuen zu erstellen, kannst Du gerne auch machen. Allzu sinnig finde ich das nicht - es gibt schon etliche Beweise - aber das heißt ja nicht, dass Du dabei nicht etwas neues entdecken könntest und ein Beweiskonzeot entdeckst, dass bisher unbekannt ist und vll. woanders eingesetzt werden könnte.
Ich behaupte aber, dass Du den Beweis nicht rein mit Trivialitäten führen kannst. Es mag einfache Beweismethoden geben, aber die beginnen sicher nicht mit Dingen wie, dass die Folge [mm] $(p_k)_k$ [/mm] der Primzahlen [mm] $p_k\,,$ [/mm] erfüllt [mm] $p_{k+1} [/mm] - [mm] p_k [/mm] > 1$ für alle natürlichen $k > [mm] 1\,.$
[/mm]
Und erst recht beginnt ein Beweis nicht damit, dass man annimmt, dass eine Primzahl [mm] $p_k [/mm] > 2 $ gerade sei...
Gruß,
Marcel
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