Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 25.06.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funtkion f: [mm] [-1;1]\to\IR [/mm] mit [mm] |f(0)|\le\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] |f(x)-f(y)|\le\bruch{1}{3}|x-y| [/mm] für alle [mm] x,y\in[-1;1].
[/mm]
a) Man zeige: [mm] f([-1;1])\subseteq[-1;1]
[/mm]
b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch [mm] x_{0}=0, x_{n+1}=f(x_{n}), n\ge0, [/mm] eine Cauchyfolge definiert ist. |
Hallo,
ich habe wieder mal eine Frage: Ich habe die Lösung dieser beiden Aufgaben und sie sind mir auch weitestgehend klar, bis auf einen kleinen Teil bei b). Dort heißt es am Anfang:
Wegen [mm] f([-1;1])\subseteq[-1;1] [/mm] wird durch [mm] x_{0}=0 [/mm] sowie [mm] x_{n+1}=f(x_{n}) [/mm] für alle [mm] n\ge0 [/mm] rekursiv eine Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN_{0}} [/mm] reeller Zahlen definiert. Wir zeigen zunächst [mm] |x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3^{n}} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{0} [/mm] mit Hilfe vollständiger Induktion.
Woher weiß ich, dass [mm] |x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3^{n}}? [/mm] Wie komme ich auf das [mm] \bruch{1}{3^{n}}?
[/mm]
Vielen Dank wieder einmal!
|
|
| |
|
Moin,
> Gegeben ist eine Funtkion f: [mm][-1;1]\to\IR[/mm] mit
> [mm]|f(0)|\le\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]|f(x)-f(y)|\le\bruch{1}{3}|x-y|[/mm]
> für alle [mm]x,y\in[-1;1].[/mm]
>
> a) Man zeige: [mm]f([-1;1])\subseteq[-1;1][/mm]
> b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch [mm]x_{0}=0, x_{n+1}=f(x_{n}), n\ge0,[/mm]
> eine Cauchyfolge definiert ist.
> Hallo,
> ich habe wieder mal eine Frage: Ich habe die Lösung
> dieser beiden Aufgaben und sie sind mir auch weitestgehend
> klar, bis auf einen kleinen Teil bei b). Dort heißt es am
> Anfang:
>
> Wegen [mm]f([-1;1])\subseteq[-1;1][/mm] wird durch [mm]x_{0}=0[/mm] sowie
> [mm]x_{n+1}=f(x_{n})[/mm] für alle [mm]n\ge0[/mm] rekursiv eine Folge
> [mm](x_{n})_{n\in\IN_{0}}[/mm] reeller Zahlen definiert. Wir zeigen
> zunächst [mm]|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3^{n}}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN_{0}[/mm] mit Hilfe vollständiger Induktion.
>
> Woher weiß ich, dass [mm]|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3^{n}}?[/mm]
> Wie komme ich auf das [mm]\bruch{1}{3^{n}}?[/mm]
Das ist der Teil, der mit vollständiger Induktion gezeigt wird. So steht es da.
Lies mal im Beweis weiter. Der Induktionsschritt dürfte ungefähr so aussehen:
[mm] |x_{n+1}-x_{n}|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|\leq\frac{1}{3}|x_{n}-x_{n-1}|
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 25.06.2011 | | Autor: | frato |
Ja genau so sieht er aus  :
Für n=0: [mm] |x_{1}-x_{0}|=|x_{1}-0|=|x_{1}|\le1 [/mm] Da sich die 1 ja auch als [mm] \bruch{1}{3^{0}} [/mm] schreiben lässt ist mir dieser Schritt auch klar.
Für [mm] n\to [/mm] n+1: [mm] |x_{n+2}-x_{n+1}|=|f(x_{n+1})-f(x_{n})|\le\bruch{1}{3}|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3^{n}}=\bruch{1}{3^{n+1}}
[/mm]
Woher weiß ich das [mm] \bruch{1}{3}|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3^{n}}? [/mm] Ich glaube das ist genau der Punkt an dem es bei mir hackt?
|
|
|
| |
|
> Ja genau so sieht er aus :
>
> Für n=0: [mm]|x_{1}-x_{0}|=|x_{1}-0|=|x_{1}|\le1[/mm] Da sich
> die 1 ja auch als [mm]\bruch{1}{3^{0}}[/mm] schreiben lässt ist mir
> dieser Schritt auch klar.
>
> Für [mm]n\to[/mm] n+1:
> [mm]|x_{n+2}-x_{n+1}|=|f(x_{n+1})-f(x_{n})|\le\bruch{1}{3}|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3^{n}}=\bruch{1}{3^{n+1}}[/mm]
>
> Woher weiß ich das
> [mm]\bruch{1}{3}|x_{n+1}-x_{n}|\le\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3^{n}}?[/mm]
Da wurde lediglich die Induktionsvoraussetzung eingesetzt:
[mm] |x_{n+1}-x_{n}|\leq\frac{1}{3^n}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 25.06.2011 | | Autor: | frato |
Es tut mir echt leid wenn ich wieder frage, aber ich stehe allem Anschein nach echt neben mir :):
Wie komme ich auf diese Induktionsvoraussetzung? Also das [mm] |x_{n+1}-x_{n}|\leq\frac{1}{3^n} [/mm] ist? Das ist ja teil der Lösung und ist somit nicht vorgegeben. Geht man einfach her und bestimmt das auf Verdacht? Hätte ich genauso gut [mm] |x_{n+1}-x_{n}|\leq\frac{1}{4^n} [/mm] nehmen können?
|
|
|
| |
|
> Es tut mir echt leid wenn ich wieder frage, aber ich stehe
> allem Anschein nach echt neben mir :):
> Wie komme ich auf diese Induktionsvoraussetzung?
Schlag noch einmal nach, wie man einen Induktionsbeweis führt.
Der Sinn der Induktionsvoraussetzung ist, die Aussage für ein bestimmtes n bereits gezeigt zu haben. Man will dann im Induktionsschritt auf n+1 (den Nachfolger) schließen. Gelingt dass, so hat man zusammen mit dem Induktionsanfang die Behauptung für ein Anfangselement und für alle dessen Nachfolger (in [mm] \IN) [/mm] gezeigt.
> Also das
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}|\leq\frac{1}{3^n}[/mm] ist? Das ist ja teil der
> Lösung und ist somit nicht vorgegeben. Geht man einfach
> her und bestimmt das auf Verdacht? Hätte ich genauso gut
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}|\leq\frac{1}{4^n}[/mm] nehmen können?
Nein.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Sa 25.06.2011 | | Autor: | frato |
Ok. Grundsätzlich weiß ich eigentlich schon, was es mit der Induktion auf sich hat. Ich werde aber heute nach nochmal darüber schlafen. Vielleicht kommt die Eingebung ja über Nacht :).
|
|
|
|
