Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mi 29.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | Eine Folge [mm] \left\{ a_n \right\} [/mm] heißt Cauchyfolge, wenn zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] N=N(\epsilon) [/mm] gibt, sodass für alle m,n [mm] \in \IN, [/mm] mit m,n [mm] \ge N(\epsilon) [/mm] gilt [mm] |a_m-a_n|<\epsilon. [/mm] |
Hallo :)
Ich habe diese Definition in meinem Skriptum stehen und bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Bedeutung verstanden habe.
Also ich weiß dass eine Folge genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Und ebenfalls weiß ich, dass jede Konvergente Folge beschränkt ist.
Meine Definition sagt doch, dass alle Folgenglieder ab einem gewissen Index weniger als [mm] \epsilon [/mm] von einander entfernt sind.
Nur wie kann ich diese Aussage nun verstehen ?
Das sollte doch bedeuten das fast alle Folgenglieder in einem Intervall [mm] 2\epsilon [/mm] enthalten sind (wenn ja was bringt mir diese Erkenntnis)?
Bedeutet das, dass mir die oben gegebene Definition, nur mitteilt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (da sie ja fast alle Glieder in einem Intervall hat) ?!
Liebe Grüße Meely :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 29.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm]\left\{ a_n \right\}[/mm] heißt Cauchyfolge, wenn zu
> jedem [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]N=N(\epsilon)[/mm] gibt, sodass für alle
> m,n [mm]\in \IN,[/mm] mit m,n [mm]\ge N(\epsilon)[/mm] gilt
> [mm]|a_m-a_n|<\epsilon.[/mm]
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> Hallo :)
>
> Ich habe diese Definition in meinem Skriptum stehen und bin
> mir nicht ganz sicher, ob ich die Bedeutung verstanden
> habe.
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> Also ich weiß dass eine Folge genau dann konvergent ist,
> wenn sie eine Cauchyfolge ist. Und ebenfalls weiß ich,
> dass jede Konvergente Folge beschränkt ist.
>
> Meine Definition sagt doch, dass alle Folgenglieder ab
> einem gewissen Index weniger als [mm]\epsilon[/mm] von einander
> entfernt sind.
> Nur wie kann ich diese Aussage nun verstehen ?
Der Abstand zweier Folgenglieder [mm] a_n [/mm] und [mm] a_m [/mm] wird beliebig klein, wenn n und m hinreichend groß sind.
> Das sollte doch bedeuten das fast alle Folgenglieder in
> einem Intervall [mm]2\epsilon[/mm] enthalten sind (wenn ja was
> bringt mir diese Erkenntnis)?
Ja, und das gilt für alle (!) [mm] \varepsilon [/mm] >0
> Bedeutet das, dass mir die oben gegebene Definition, nur
> mitteilt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (da sie ja
> fast alle Glieder in einem Intervall hat) ?!
Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm] (-1)^n
[/mm]
FRED
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> Liebe Grüße Meely :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 29.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo FRED,
Danke für deine Antwort.
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> Der Abstand zweier Folgenglieder [mm]a_n[/mm] und [mm]a_m[/mm] wird beliebig
> klein, wenn n und m hinreichend groß sind.
Würde dies nicht wieder Konvergenz implizieren ?
>
> > Das sollte doch bedeuten das fast alle Folgenglieder in
> > einem Intervall [mm]2\epsilon[/mm] enthalten sind (wenn ja was
> > bringt mir diese Erkenntnis)?
>
> Ja, und das gilt für alle (!) [mm]\varepsilon[/mm] >0
>
>
> > Bedeutet das, dass mir die oben gegebene Definition, nur
> > mitteilt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (da sie ja
> > fast alle Glieder in einem Intervall hat) ?!
>
>
> Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte
> Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm](-1)^n[/mm]
Also weil [mm] (-1)^n [/mm] keine Nullfolge ist, kann sie auch keine Cauchyfolge sein ?! :)
>
> FRED
Liebe Grüße Meely :)
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Hallo,
> Hallo FRED,
>
> Danke für deine Antwort.
>
> >
> >
> > Der Abstand zweier Folgenglieder [mm]a_n[/mm] und [mm]a_m[/mm] wird beliebig
> > klein, wenn n und m hinreichend groß sind.
>
> Würde dies nicht wieder Konvergenz implizieren ?
natürlich. Das ist ja der Sinn der Übung. Während bspw. das für Konvergenz hinreichende Kriterium monoton und beschränkt dazu taugt, Konvergenz nachzuweisen, jedoch nur für solche Folgen, welche die beiden genannten Eigenschaften (also insbesondere die Monotonie) besitzen, erfasst der Begriff der Cauchy-Folge alle konvergenten Folgen.
> >
> > > Das sollte doch bedeuten das fast alle Folgenglieder in
> > > einem Intervall [mm]2\epsilon[/mm] enthalten sind (wenn ja was
> > > bringt mir diese Erkenntnis)?
> >
> > Ja, und das gilt für alle (!) [mm]\varepsilon[/mm] >0
> >
> >
> > > Bedeutet das, dass mir die oben gegebene Definition, nur
> > > mitteilt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (da sie ja
> > > fast alle Glieder in einem Intervall hat) ?!
> >
> >
> > Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte
> > Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm](-1)^n[/mm]
>
> Also weil [mm](-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann sie auch keine
> Cauchyfolge sein ?! :)
Das ist falsch: eine Cauchy-Folge ist einfach nur eine konvergente Folge und damit i.a. keine Nullfolge. Das Beispiel von FRED ist nicht konvergent, und daher auch keine Cauchy-Folge.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo Diophant :)
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> > >
> > >
> > > Der Abstand zweier Folgenglieder [mm]a_n[/mm] und [mm]a_m[/mm] wird beliebig
> > > klein, wenn n und m hinreichend groß sind.
> >
> > Würde dies nicht wieder Konvergenz implizieren ?
>
> natürlich. Das ist ja der Sinn der Übung. Während bspw.
> das für Konvergenz hinreichende Kriterium monoton und
> beschränkt dazu taugt, Konvergenz nachzuweisen, jedoch nur
> für solche Folgen, welche die beiden genannten
> Eigenschaften (also insbesondere die Monotonie) besitzen,
> erfasst der Begriff der Cauchy-Folge alle konvergenten
> Folgen.
Perfekt :) Dann habe ich glaube ich Verstanden was ich mit dieser Definition anfangen kann. Vielen Dank.
>
> > >
> > > > Das sollte doch bedeuten das fast alle Folgenglieder in
> > > > einem Intervall [mm]2\epsilon[/mm] enthalten sind (wenn ja was
> > > > bringt mir diese Erkenntnis)?
> > >
> > > Ja, und das gilt für alle (!) [mm]\varepsilon[/mm] >0
> > >
> > >
> > > > Bedeutet das, dass mir die oben gegebene Definition, nur
> > > > mitteilt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist (da sie ja
> > > > fast alle Glieder in einem Intervall hat) ?!
> > >
> > >
> > > Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte
> > > Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm](-1)^n[/mm]
> >
> > Also weil [mm](-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann sie auch keine
> > Cauchyfolge sein ?! :)
>
> Das ist falsch: eine Cauchy-Folge ist einfach nur eine
> konvergente Folge und damit i.a. keine Nullfolge. Das
> Beispiel von FRED ist nicht konvergent, und daher auch
> keine Cauchy-Folge.
Damit meinte ich, dass jede Folge genau dann Konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Da aber [mm] (-1)^n [/mm] nicht konvergent ist, kann sie ja auch folglich keine Cauchyfolge sein :)
>
> Gruß, Diophant
Liebe Grüße, Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte
> > > > Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm](-1)^n[/mm]
> > >
> > > Also weil [mm](-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann sie auch keine
> > > Cauchyfolge sein ?! :)
> >
> > Das ist falsch: eine Cauchy-Folge ist einfach nur eine
> > konvergente Folge und damit i.a. keine Nullfolge. Das
> > Beispiel von FRED ist nicht konvergent, und daher auch
> > keine Cauchy-Folge.
>
> Damit meinte ich, dass jede Folge genau dann Konvergent
> ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Da aber [mm](-1)^n[/mm] nicht
> konvergent ist, kann sie ja auch folglich keine Cauchyfolge
> sein :)
diese Argumentation wäre korrekt: [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] ist im vollständigen metrischen Raum [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] nicht konvergent und damit keine Cauchyfolge.
Aber Deine vorhergige Argumentation war ja, dass sie keine Nullfolge sei und daher nicht Cauchyfolge - und diese Begründung wäre keine Begründung. Denn nimm' einfach [mm] $a_n:=1\,,$ [/mm] dann gilt [mm] $a_n \to [/mm] 1$ und [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist als konvergente Folge auch Cauchyfolge, dennoch ist das keine Nullfolge (der Grenzwert dieser Folge ist ja nicht [mm] $0\,,$ [/mm] sondern [mm] $1\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 29.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo Marcel,
> Hallo,
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> > > > > Eine Cauchyfolge ist beschränkt. Aber eine beschränkte
> > > > > Folge muß keine Cauchyfolge sein. Bsp: [mm](-1)^n[/mm]
> > > >
> > > > Also weil [mm](-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann sie auch keine
> > > > Cauchyfolge sein ?! :)
> > >
> > > Das ist falsch: eine Cauchy-Folge ist einfach nur eine
> > > konvergente Folge und damit i.a. keine Nullfolge. Das
> > > Beispiel von FRED ist nicht konvergent, und daher auch
> > > keine Cauchy-Folge.
> >
> > Damit meinte ich, dass jede Folge genau dann Konvergent
> > ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Da aber [mm](-1)^n[/mm] nicht
> > konvergent ist, kann sie ja auch folglich keine Cauchyfolge
> > sein :)
>
> diese Argumentation wäre korrekt: [mm]((-1)^n)_n[/mm] ist im
> vollständigen metrischen Raum [mm](\IR,d_{|.|})[/mm] nicht
> konvergent und damit keine Cauchyfolge.
>
> Aber Deine vorhergige Argumentation war ja, dass sie keine
> Nullfolge sei und daher nicht Cauchyfolge - und diese
> Begründung wäre keine Begründung. Denn nimm' einfach
> [mm]a_n:=1\,,[/mm] dann gilt [mm]a_n \to 1[/mm] und [mm](a_n)_n[/mm] ist als
> konvergente Folge auch Cauchyfolge, dennoch ist das keine
> Nullfolge (der Grenzwert dieser Folge ist ja nicht [mm]0\,,[/mm]
> sondern [mm]1\,[/mm]).
Danke für deine ausführlichen Antworten :)
War mir nicht bewusst, dass meine alte Argumentation sich gar so von der "neuen" unterscheidet.
Aber jetzt habe ich den Unterschied verstanden - danke :)
(könnte mich selbst schlagen dafür ^^ der Unterschied hätte mir selbst auffallen müssen)
>
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße Meely :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo FRED,
>
> Danke für deine Antwort.
>
> >
> >
> > Der Abstand zweier Folgenglieder [mm]a_n[/mm] und [mm]a_m[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wird beliebig
> > klein, wenn n und m hinreichend groß sind.
>
> Würde dies nicht wieder Konvergenz implizieren ?
nebenbei erwähnt: Im allgemeinen nicht. Aber in vollständigen metrischen Räumen charakterisiert die Cauchyfolgeneigenschaft die Konvergenz einer Folge.
Bsp.:
$(\IR,d_{|.|})$ mit der vom Betrag induzierten Metrik ist vollständig, $(\IQ,\left.d_{|.|}\right|_{\IQ \times \IQ})$ (kurz sagen wir einfach: $\IQ$) mit der vom Betrag induzierten Metrik bzgl. $\IQ$ ist nicht vollständig. Warum ist $\IQ$ nicht vollständig? Im Wesentlichen, weil $\IQ$ dicht in $\IR$ liegt.
Ohne die Dichtheit kann man aber auch argumentieren: Ich kann eine Folge $(q_n)_n$ in $\IQ$ angeben, so dass $q_n \to \sqrt{2}$ (Babylonisches Wurzelziehen). Diese Folge ist natürlich auch eine Folge in $\IR$ und "die Abstandsberechnung ändert sich nicht, wenn man $\IQ$ als in $\IR$ eingebettet ansieht und entsprechend der Abstand in $\IQ$ quasi, wie oben, nur der auf $\IQ$ eingeschränkte Abstand aus $\IR$ ist".
Als Folge in $\IR$ ist $(q_n)_n$ dann aber gegen $\sqrt{2} \in \IR$ konvergent, also auch Cauchyfolge in $\IR\,.$ Damit ist sie auch Cauchyfolge in $\IQ\,.$ Wäre $(q_n)_n$ aber auch in $\IQ$ konvergent, so folgte $\sqrt{2} \in \IQ\,,$ da "die Grenzwerte eines metrischen Raumes eindeutig sind."
Gruß,
Marcel
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