Cauchyformel-Fkt./Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | (1) Es seien [mm] z_{1},...,z_{n} [/mm] paarweise verschiedene komplexe Zahlen, R>0 mit [mm] z_{j} \not\in \partial \Delta_{R} [/mm] für alle j=1,...,n und f: [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto \produkt_{i=1}^{n} (z-z_{j}). [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial \Delta_{R}}{\bruch{f' } {f} dz}
[/mm]
mit f´ [mm] =\bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] ist die Anzahl der Nullstellen von f in [mm] \Delta_{R}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | (2) Es sei [mm] z_{0} \in \IC [/mm] und [mm] \gamma=\partial \Delta_{R}(z_{0}) [/mm] mit r [mm] \in \IR^{>0}. [/mm] Berechnen Sie: [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{f' } {f} dz}
[/mm]
für f: [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto (z-z_{0})^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] fest. |
Hallo zusammen,
ich bräuchte bei obiger Aufgabe eure Hilfe.
Zu Teil (1):
Zuerst möchte ich mein f ableiten:
[mm] f'=1*\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})+(\bruch{\partial}{\partial z}\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})*(z-z_{1}))
[/mm]
Hat jemand eine Idee wie ich das am besten vereinfache? Mein Ziel ist irgendetwas wegzukürzen, so dass ich über die Cauchy-Integrationsformel mit der Anzahl der Nullstellen argumentieren kann.
Ist das der richtige Ansatz?
Zu Teil (2):
[mm] f'=1*(z-z_{0})^{n-1}
[/mm]
[mm] \bruch{f'}{f}=\bruch{n}{z-z_{0}}
[/mm]
Wie sieht dann mein Integral aus, was ich ausrechnen muss?
Beste Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> (1) Es seien [mm]z_{1},...,z_{n}[/mm] paarweise verschiedene
> komplexe Zahlen, R>0 mit [mm]z_{j} \not\in \partial \Delta_{R}[/mm]
> für alle j=1,...,n und f: [mm]\IC \to \IC;[/mm] z [mm]\mapsto \produkt_{i=1}^{n} (z-z_{j}).[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial \Delta_{R}}{\bruch{f' } {f} dz}[/mm]
>
> mit f´ [mm]=\bruch{\partial f}{\partial z}[/mm] ist die Anzahl der
> Nullstellen von f in [mm]\Delta_{R}.[/mm]
> (2) Es sei [mm]z_{0} \in \IC[/mm] und [mm]\gamma=\partial \Delta_{R}(z_{0})[/mm]
> mit r [mm]\in \IR^{>0}.[/mm] Berechnen Sie:
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{f' } {f} dz}[/mm]
> für f: [mm]\IC \to \IC;[/mm]
> z [mm]\mapsto (z-z_{0})^{n}[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] fest.
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte bei obiger Aufgabe eure Hilfe.
>
> Zu Teil (1):
>
> Zuerst möchte ich mein f ableiten:
>
> [mm]f'=1*\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})+(\bruch{\partial}{\partial z}\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})*(z-z_{1}))[/mm]
>
> Hat jemand eine Idee wie ich das am besten vereinfache?
> Mein Ziel ist irgendetwas wegzukürzen, so dass ich über
> die Cauchy-Integrationsformel mit der Anzahl der
> Nullstellen argumentieren kann.
> Ist das der richtige Ansatz?
Es ist [mm] $f(z)=(z-z_1)g(z)$ [/mm] mit [mm] $g(z):=\produkt_{j=2}^{n} (z-z_{j}). [/mm] $
Zeige nun:
[mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+ \bruch{g'(z)}{g(z)}$
[/mm]
Mit g verfahre genauso. Dann erhältst Du eine schöne und brauchbare Darstellung von [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}
[/mm]
Beispiel: n=2. Dann ist [mm] g(z)=z-z_2 [/mm] und somit
[mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+ \bruch{1}{z-z_2}
[/mm]
Verallgemeinere dies.
>
> Zu Teil (2):
>
> [mm]f'=1*(z-z_{0})^{n-1}[/mm]
Nein. [mm]f'(z)=n*(z-z_{0})^{n-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f'}{f}=\bruch{n}{z-z_{0}}[/mm]
>
> Wie sieht dann mein Integral aus, was ich ausrechnen muss?
So: [mm] $\integral_{\gamma}{\bruch{n}{z-z_{0}}dz} [/mm] $
FRED
>
> Beste Grüße
>
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Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil ist nachvollziehbar, danke.
Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für mein [mm] \gamma. [/mm] Wäre dies eine?: [mm] (x+rcos\Phi,y+rsin\Phi) [/mm] Oder direkt mit Polarkoordinaten arbeiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mi 01.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil
> ist nachvollziehbar, danke.
>
> Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war
> mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit
> weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für
> mein [mm]\gamma.[/mm]
Nein, du kannst doch direkt die Integralformel von Cauchy benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil
> ist nachvollziehbar, danke.
>
> Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war
> mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit
> weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für
> mein [mm]\gamma.[/mm] Wäre dies eine?: [mm](x+rcos\Phi,y+rsin\Phi)[/mm] Oder
> direkt mit Polarkoordinaten arbeiten?
Ihr hattet sicher die "Umlaufzahl" oder "Windungszahl"
FRED
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