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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Cauchyprodukt
Cauchyprodukt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchyprodukt: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts: Für z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|<1 gilt

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)z^k=\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right [/mm]

Ich weiß gar nicht, wie ich das Chauchyprodukt da anwenden kann, es lautet ja:

[mm] C_k=\summe_{j=0}^{k}a_jb_{k-j} [/mm]

Was wäre in meinem Fall a und b?

        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts: Für z [mm]\in \IC[/mm] mit
> |z|<1 gilt
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)z^k=\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right[/mm]
>  
> Ich weiß gar nicht, wie ich das Chauchyprodukt da anwenden
> kann, es lautet ja:
>  
> [mm]C_k=\summe_{j=0}^{k}a_jb_{k-j}[/mm]
>  
> Was wäre in meinem Fall a und b?


a und b sind dieselben Reihen.

Betrachte die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
und bilde das Produkt dieser Reihe mit sich selbst.


Gruss
MathePower


Bezug
                
Bezug
Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Du meinst ich muss sozusagen folgendes hernehmen:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}((k+1)z^k)^2 [/mm]

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Du meinst ich muss sozusagen folgendes hernehmen:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}((k+1)z^k)^2[/mm]
>  
> Stimmt das?


Nein.

Berechne doch das Cauchyprodukt

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]


Gruss
MathePower

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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Das verstehe ich nicht, wieso denn nur [mm] z^k, [/mm] was mache ich denn mit dem (k+1)?

Bezug
                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Das verstehe ich nicht, wieso denn nur [mm]z^k,[/mm] was mache ich
> denn mit dem (k+1)?


Du brauchst doch zunächst eine bekannte Reihe,
die mit sich selber multipliziert, die in der Aufgabe
gegebene Reihe ergibt.


Gruss
MathePower

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Bezug
Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Verstehe, mich erinnert das ganze eh an die geometrische Reihe:

[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} z^k)^2=\summe_{k=0}^{\infty} z^{2k}(Darf [/mm] ich das? Eigentlich nicht oder, weil es Summen sind?)

Für die geometrische Reihe gilt ja:

[mm] \summe_{k=0}^{n} z^k=\left \bruch{1}{1-z} \right [/mm]
Kann ich das hier anwenden? Und was mache ich nun mit dem (k+1)?

Bezug
                                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,


> Verstehe, mich erinnert das ganze eh an die geometrische
> Reihe:
>  
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} z^k)^2=\summe_{k=0}^{\infty} z^{2k}(Darf[/mm]
> ich das? Eigentlich nicht oder, weil es Summen sind?)
>


Nein, berechne das Cauchy-Produkt

[mm]\summe_{k=0}^{\infty} z^k*\summe_{k=0}^{\infty} z^k[/mm]


> Für die geometrische Reihe gilt ja:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n} z^k=\left \bruch{1}{1-z} \right[/mm]
> Kann ich das hier anwenden? Und was mache ich nun mit dem
> (k+1)?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Ok, also noch ein Versuch:

Mein [mm] a_n=b_n=z^k [/mm]

Mit Cauchy folgt:

[mm] z^k*z^k=z^{2k}=\summe_{k=0}^{n}z^k*z^{n-k} [/mm]

Wieso darf ich das überhaupt? [mm] z^k [/mm] ist doch keine konvergente Reihe oder?



Bezug
                                                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Ok, also noch ein Versuch:
>  
> Mein [mm]a_n=b_n=z^k[/mm]
>  
> Mit Cauchy folgt:
>  
> [mm]z^k*z^k=z^{2k}=\summe_{k=0}^{n}z^k*z^{n-k}[/mm]
>  
> Wieso darf ich das überhaupt? [mm]z^k[/mm] ist doch keine
> konvergente Reihe oder?
>  

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] ist für [mm]\vmat{z} < 1[/mm] sogar absolut konvergent.

Schreib das mal ordentlich auf.

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}* \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\ ...[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Achja, der Betrag, ganz überlesen, sorry.

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}\cdot{} \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l} [/mm]

Ich weiß gar nicht, wie man so Summenzeichen zusammenfassen kann...

Wieso muss ich überhaupt zwei verschiedenen Potenzen nehmen?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Achja, der Betrag, ganz überlesen, sorry.
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}\cdot{} \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}[/mm]
>  
> Ich weiß gar nicht, wie man so Summenzeichen
> zusammenfassen kann...

>


Setze k+l=n, dann entsteht

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}[/mm]


> Wieso muss ich überhaupt zwei verschiedenen Potenzen
> nehmen?


Weil Du das Produkt zweier Reihen bildest.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Verstehe aber gar nicht, was mir das bringen soll, sorry, wenn ich mich so anstelle... Vorallem, wieso kann man da einfach n=0 und k=0 setzen?

Bezug
                                                                                                        
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Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Verstehe aber gar nicht, was mir das bringen soll, sorry,


Die angegebene Summe kannst Du noch etwas vereinfachen.


> wenn ich mich so anstelle... Vorallem, wieso kann man da
> einfach n=0 und k=0 setzen?


Du kannst n=0 setzen, weil das der kleinst mögliche Exponent ist.

Und da [mm]n=0+n=1+\left(n-1\right)=...=\left(n-1\right)+1=n+0[/mm]
ist für k die untere Grenze 0 und die obere Grenze n.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 So 11.12.2011
Autor: hubbel

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm]

Wäre meiner Meinung nach weiter vereinfacht, stimmt das? Und wenn ja, was kann ich damit anfangen?

Bezug
                                                                                                                        
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Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm]
>  
> Wäre meiner Meinung nach weiter vereinfacht, stimmt das?


Nein, das stimmt nicht.

Hier muss noch ein Term stehen:

[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\red{...}\ z^n[/mm]


> Und wenn ja, was kann ich damit anfangen?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht...

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Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,


> Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht...


Schreibe doch die Summe so:

[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}1\right)z^{n}[/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                                                                                                
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Achso, da muss noch ein n+1 hin:

$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n} [/mm] $

Richtig?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Achso, da muss noch ein n+1 hin:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n}[/mm]
>  
> Richtig?


Richtig.

Und damit kannst Du die Reihensumme angeben.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 So 11.12.2011
Autor: hubbel

Ja ok, verstehe aber nicht, was mir das gebracht hat, sollte doch zeigen, dass das ganze gleich [mm] \left \bruch{1}{(1-z)^2} \right [/mm] ist.

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 So 11.12.2011
Autor: MathePower

Hallo hubbel,

> Ja ok, verstehe aber nicht, was mir das gebracht hat,
> sollte doch zeigen, dass das ganze gleich [mm]\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right[/mm]
> ist.

Nun, wie lautet die Summe von [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] ?

Gezeigt wurde, daß

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}}\left(k+1\right)*z^{k}[/mm]

Damit ist

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}}\left(k+1\right)*z^{k}= \ ...[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Cauchyprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 So 11.12.2011
Autor: hubbel

AHHHHHHHHH, verstehe, Groschen gefallen! Danke!

Bezug
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