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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts die Summen:
a) [mm] \summe_{n=0}^\infty ((n+1)/3^n)
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^\infty n/3^n
[/mm]
(Hinweis:Berechnen Sie zunnächst das Cauchy-Produkt der Reihe [mm] (\summe_{n=0}^\infty 1/3^n [/mm] sich selbst.) |
Nun meine Frage: Irgendwie verstehe ich gar nicht die Fragestellung und was ich da machen muss, hab nicht mal einen ansatz... Ich verstehe einfach nicht wie man mit CP die Summe bestimmen kann , bitte dringend um Hilfe da ich das bis morgen irgend wie verstanden haben muss. danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Di 13.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Was ist denn [mm] $\sum_{k=0}^\infty 1/3^k$?
[/mm]
Und was ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty 1/3^k*\sum_{k=0}^\infty 1/3^k$?
[/mm]
Jetzt schreibe dieses Produkt zweier Reihen als Cauchyprodukt. Dies ergibt eine Reihe, deren Grenzwert nach dem ersten Schritt bekannt ist. Löse mit dieser Gleichung die beiden Aufgaben.
viel Erfolg,
Wolfgang
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Hinweis: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1/3^n*\summe_{i=1}^{\infty} 1/3^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} 1/3^k*1/3^{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} 1/3^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (n+1)/3^n
[/mm]
Ich hoffe meine Rechnung stimmt aber was genau bringt sie mir? Ich hab immer noch nicht ganz verstanden was das CP ausagt?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hinweis: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} 1/3^n*\summe_{i=1}^{\infty} 1/3^n[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} 1/3^k*1/3^{n-k}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} 1/3^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (n+1)/3^n[/mm]
>
> Ich hoffe meine Rechnung stimmt aber was genau bringt sie
> mir? Ich hab immer noch nicht ganz verstanden was das CP
> ausagt?!
mach' uns bitte kein [mm] $i\,$ [/mm] für ein [mm] $n\,$ [/mm] vor [mm] ($\to$ [/mm] Summationsvariablen nicht verschieden bezeichnen!).
Nehmen wir mal an, dass anstatt [mm] $i=0\,$ [/mm] oben überall [mm] $n=0\,$ [/mm] steht, und auch die Summe mit dem [mm] $k\,$ [/mm] korrigiert wird. Dann steht bei Dir hoffentlich:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k}*\frac{1}{3^{n-k}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}\sum_{k=0}^n 1=\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n\,.$$
[/mm]
Das ist doch schonmal wunderbar - auch, wenn wir bisher das Cauchyprodukt nur formal berechnet haben. Das Tolle an der Sache ist nämlich, dass wir wissen, dass
[mm] $$\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{3^n}$$
[/mm]
sogar absolut konvergiert - also sehen wir so, dass auch
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n$$
[/mm]
konvergiert. Und nun das Tollste an dieser Sache:
Wir wissen sogar, gegen was
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n$$
[/mm]
konvergiert.
Denn: Wenn [mm] $S:=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}$ [/mm] ist, dann gilt die Grenzwertbeziehung
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n=S*S=S^2\,.$$
[/mm]
Nun noch die eigentliche Aufgabe von Dir:
Wie berechnet sich nun [mm] $S\,$? [/mm] Ich habe Dir schon einen Tipp gegeben:
[mm] $$S=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n\,.$$
[/mm]
Da steht eine geometrische Reihe der Form
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty q^n$$
[/mm]
mit $q:=1/3 < [mm] 1\,.$ [/mm] Wie lautet deren Grenzwert?
P.S.:
Zur Kontrolle:
Ich erhalte
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n=9/4=2.25$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Also das der Grenzwert 3/2 ist hast du ja schon selbst verraten ...xixi ....
Also Quotientenkriterium:(sry weiß jetzt nicht würklich wie man index hier setzt) ... A(n+1)/A(n)= [mm] 3^n/3^n+1=1/3 [/mm] <1 =>konvergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/3)^n [/mm] --> 1/(1-(1/3))=3/2
den ansatz mit limes hab ich jetzt im Internet gefunden, Ich weiß das das irgendwie mit geometrischer Reiche zusammen hängt, aber hab es noch nicht so ganz vertanden! Wenn einer mir das noch erklären könnte währe ich froh drüber!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also das der Grenzwert 3/2 ist hast du ja schon selbst
> verraten ...xixi ....
> Also Quotientenkriterium:(sry weiß jetzt nicht würklich
> wie man index hier setzt) ... A(n+1)/A(n)= [mm]3^n/3^n+1=1/3[/mm]
> <1 =>konvergent
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1/3)^n -->[/mm]
das, was da steht, ist so, wie es da steht, einfach Quatsch. Vielmehr ist
[mm] $$\lim_{n \to \infty}(1/3)^n=0\,,$$
[/mm]
und das, was Du meinst
> 1/(1-(1/3))=3/2
ist der Grenzwert der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n\,.$ [/mm] Den hast Du dann richtig berechnet.
> den ansatz mit limes hab ich jetzt im Internet gefunden,
> Ich weiß das das irgendwie mit geometrischer Reiche
> zusammen hängt, aber hab es noch nicht so ganz vertanden!
> Wenn einer mir das noch erklären könnte währe ich froh
> drüber!!!
Naja, es ist eigentlich ganz einfach: Man kann sich die geometrische Summenformel herleiten:
Für jedes [mm] $k\,$ [/mm] und beliebiges [mm] $q\,$ [/mm] mit $q [mm] \not=1$ [/mm] (den Grund dafür sehen wir später) setzen wir
[mm] $$\sum_{n=0}^k q^n=:s_k=s_k(q)\,.$$
[/mm]
[mm] ($s_k(q)$ [/mm] soll betonen, dass die Teilsumme zum einen von der (einmal) fest gewählten Zahl [mm] $q\,$ [/mm] und zum anderen vom Index [mm] $k\,$ [/mm] abhängt.)
Dann sieht man (etwa mit dem Distributiv- und dem Potenzgesetz)
[mm] $$q*s_k=q*\sum_{n=0}^k q^n=\sum_{n=0}^k \underbrace{q*q^n}_{=q^{n+1}}=\sum_{n=1}^{k+1}q^n\,,$$
[/mm]
woraus folgt
[mm] $$s_k-q*s_k=q^0-q^{k+1}\,,$$
[/mm]
also wegen [mm] $s_k-q*s_k=s_k(1-q)$ [/mm] und [mm] $q^0=1$ [/mm] die geometrische Summenformel
[mm] $$(I)\;\;\;s_k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\,,$$
[/mm]
wobei wir nun $q [mm] \not=1$ [/mm] bei dieser Umformung brauchten.
FALLS NUN [mm] $|q|<1\,$ [/mm] ist, dann gilt
[mm] $$\lim_{k \to \infty}q^k=0$$
[/mm]
und damit auch
[mm] $$\lim_{k \to \infty}q^{k+1}=0\,,$$
[/mm]
und daher folgt für den Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] sodann
[mm] $$(\star)\;\;\;\sum_{n=0}^\infty q^n=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=0}^k q^n=\lim_{k \to \infty}s_k=\lim_{k \to \infty}\frac{1-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-\lim\limits_{k \to \infty}q^{k+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}\,.$$
[/mm]
(Die Formel [mm] $(\star)$ [/mm] gilt für alle [mm] $q\,$ [/mm] mit [mm] $|q|<1\,.$)
[/mm]
Bei Dir ist nun
[mm] $$s_k=s_k(q)=s_k(1/3)\,,$$
[/mm]
also [mm] $q=1/3\,.$
[/mm]
Nun erfüllt $q=1/3$ sicherlich $|q|=|1/3|=1/3 < [mm] 1\,,$ [/mm] und daher können wir die Formel [mm] $(\star)$ [/mm] mit $q=1/3$ anwenden und erhalten
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}\,.$$
[/mm]
Nun klarer?
P.S.:
Allgemein sollte aber die geometrische Summenformel [mm] $(I)\;$ [/mm] wirklich bekannt sein und Du solltest sie auswendig können, oder wenigstens schnell herleiten. Und auch die Formel [mm] $(\star)$ [/mm] für $|q|<1$ solltest Du auswendig können, was aber eigentlich kein Kunststück mehr ist, wenn man [mm] $(I)\,$ [/mm] (herleiten) kann.
P.P.S.:
In schulmathematischer Form kann man diese Formel auch schnell herleiten:
Gehe aus von
[mm] $$(a)\;\;\;q^0+q^1+...+q^k=s_k$$
[/mm]
Multipliziere [mm] $(a)\,$ [/mm] mit [mm] $q\,$ [/mm] und es folgt
[mm] $$(b)\;\;\;\;\;\;q^1+q^2+...+q^k+q^{k+1}=q*s_k$$
[/mm]
Berechne nun die Differenz [mm] $(a)-(b)\,$:
[/mm]
[mm] $$q^0-q^{k+1}=s_k-q*s_k\,.$$
[/mm]
etc.
Das ist genau das gleiche Vorgehen wie oben, nur, dass oben das Summenzeichen verwendet wird.
Gruß,
Marcel
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Also jetzt alles Zusammengefast bei a) kommt 9/4 raus und bei b) 3/4 ... stimmt das?
YEHUU ... hab endlich die Aufgabe hinbekommen, danke für die Hilfe an alle !!! Vorallem an Marcel !!!... währe aber nett wenn einer mir das mit Limes erklären könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also jetzt alles Zusammengefast bei a) kommt 9/4 raus und
> bei b) 3/4 ... stimmt das?
genau. Denn bei b) haben wir ja den Reihenwert von a) mit [mm] $1/3\,$ [/mm] zu multiplizieren.
> YEHUU ... hab endlich die Aufgabe hinbekommen, danke für
> die Hilfe an alle !!! Vorallem an Marcel !!!... währe aber
> nett wenn einer mir das mit Limes erklären könnte.
Ich hoffe, dass ich das in der anderen Antwort eben einigermaßen verständlich hinbekommen habe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nurmal nebenbei:
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts die Summen:
> a) [mm]\summe_{n=0}^\infty ((n+1)/3^n)[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=0}^\infty n/3^n[/mm]
es gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n/3^n=\sum_{n=1}^\infty n/3^n=(\red{1/3})*\sum_{n=1}^\infty n/3^{n-1}=(\red{1/3})*\sum_{n=0}^\infty (n+1)/3^n\,.$$
[/mm]
Bemerkung: Fälschlicherweise stand vorher anstatt der nun roten [mm] $1/3\,$ [/mm] eine [mm] $3\,$ [/mm] dort.
Daher reicht es, eine der Aufgaben zu lösen. Warum beginnst Du nicht mit dem Tipp?
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^\infty 1/3^n\right)*\left(\sum_{n=0}^\infty 1/3^n\right)$$
[/mm]
mit Cauchyprodukt angehen...
Hinweis:
[mm] $1/3^n=(1/3)^n$ [/mm] und sich mal die geometrische Reihe anschauen...
Gruß,
Marcel
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hat sich erledigt das mit den Indexverschibung der Summe
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Wie kann ich die 3 aus der Summe rausziehen ? Kann das jemand mir erklären? Habs nicht so mit Summen und Produkten in kombination. Aber so das jeder Dumme es verstehen würde auch mit villeicht für einen oder anderen unötigen Zwischenschritt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kann ich die 3 aus der Summe rausziehen ? Kann das
> jemand mir erklären? Habs nicht so mit Summen und
> Produkten in kombination. Aber so das jeder Dumme es
> verstehen würde auch mit villeicht für einen oder anderen
> unötigen Zwischenschritt!
schlimmstenfalls machen wir es mal über die Folge der Teilsummen:
Also [mm] $\sum_{n=0}^\infty n/3^n$ [/mm] steht ja erstmal nur für die Folge [mm] $(s_k)_k$ [/mm] der Teilsummen
[mm] $$s_k:=\sum_{n=0}^k n/3^n\,.$$
[/mm]
(Das ganze hat den Vorteil, dass Du Dir so nicht erstmal überlegen musst, ob die Folge konvergiert oder was das ganze für einen Sinn machen würde, wenn diese divergieren würde. Denn wir behandeln so erstmal nur endliche Summen.)
Für jedes [mm] $k\,$ [/mm] gilt
[mm] $$s_k=\sum_{n=0}^k n/3^n=\sum_{n=1}^k n/3^n=\sum_{n=1}^k \frac{1}{3}*\frac{n}{3^{n-1}}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^k \frac{n+1}{3^n}\,.$$
[/mm]
Dabei wurde nur benutzt
[mm] $$\frac{1}{3^n}=\frac{1}{3}*\frac{1}{3^{n-1}}$$
[/mm]
und das Distributivgesetz.
P.S.:
In der anderen Mitteilung war noch ein Fehler - anstatt der [mm] $3\,$ [/mm] sollte dort [mm] $3^{-1}$ [/mm] oder [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] stehen. Ist nun aber korrigiert - evtl. hat Dich das ja auch am meisten verwirrt. Sorry!
Gruß,
Marcel
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Okey hab die verbesserung gesehen , danke! , jetzt ergibt das auch alles sinn! Könntest du noch oder auch gerne irgend ein anderer sagen ob mein Hinweißnachrechnung richtig ist und wie ich weiter vorgehen muss? Ich hab leider immer noch nicht ganz verstanden was das CP mir genau sagt bzw [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/3^n*\summe_{i=1}^{\infty}1/3^n=\summe_{i=1}^{\infty}(n+1)/3^n [/mm] Was bringt mir das bzw wie bringt mich das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okey hab die verbesserung gesehen , danke! , jetzt ergibt
> das auch alles sinn! Könntest du noch oder auch gerne
> irgend ein anderer sagen ob mein Hinweißnachrechnung
> richtig ist und wie ich weiter vorgehen muss? Ich hab
> leider immer noch nicht ganz verstanden was das CP mir
> genau sagt bzw
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/3^n*\summe_{i=1}^{\infty}1/3^n=\summe_{i=1}^{\infty}(n+1)/3^n[/mm]
> Was bringt mir das bzw wie bringt mich das weiter?
siehe oben:
den Reihenwert
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty 1/3^n=\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n$$
[/mm]
kann man berechnen, da geometrische Reihe [mm] $\sum q^n$ [/mm] mit $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
P.S.:
Ich weiß, es liegt im Wesentlichen am Formeleditor, aber achte bitte darauf, dass Du unter der Summe etwa [mm] $n=0\,$ [/mm] und nicht [mm] $i=1\,$ [/mm] stehen hast etc..
Gruß,
Marcel
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