Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:25 Mi 10.06.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Löse mit der Cauchyschen Integralformel:
[mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 |
Hallo. Ich habe bereits ein paar Aufgaben mittels CI gelöst, das prinzipielle Vorgehen ist klar, aber hier komme ich nicht weiter. Mein Ansatz lautet:
[mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz} [/mm] mit f(z) = [mm] \bruch{z^{n}}{(z-1)^{n-1}}
[/mm]
Aber wenn ich jetzt die CI anwende steht bei f(1) die Null im Nenner....
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Löse mit der Cauchyschen Integralformel:
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> [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm]
> 1
> Hallo. Ich habe bereits ein paar Aufgaben mittels CI
> gelöst, das prinzipielle Vorgehen ist klar, aber hier
> komme ich nicht weiter. Mein Ansatz lautet:
>
> [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz}[/mm] mit f(z) =
> [mm]\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n-1}}[/mm]
>
> Aber wenn ich jetzt die CI anwende steht bei f(1) die Null
> im Nenner....
>
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Setze [mm] f(z):=z^n. [/mm] Dann ist [mm] \bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}}=\bruch{f(z)}{(z-1)^n}
[/mm]
Jetzt Cauchysche Integralformel für Ableitungen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 10.06.2015 | | Autor: | Calculu |
> > Löse mit der Cauchyschen Integralformel:
> >
> > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm]
> > 1
> > Hallo. Ich habe bereits ein paar Aufgaben mittels CI
> > gelöst, das prinzipielle Vorgehen ist klar, aber hier
> > komme ich nicht weiter. Mein Ansatz lautet:
> >
> > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] =
> > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}} dz}[/mm] =
> > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz}[/mm] mit f(z) =
> > [mm]\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n-1}}[/mm]
> >
> > Aber wenn ich jetzt die CI anwende steht bei f(1) die Null
> > im Nenner....
> >
> > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
>
>
> Setze [mm]f(z):=z^n.[/mm] Dann ist
> [mm]\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}}=\bruch{f(z)}{(z-1)^n}[/mm]
>
> Jetzt Cauchysche Integralformel für Ableitungen.
>
> FRED
Vielen Dank. Ich versuche es mal:
(ich weiß nicht genau ob meine Notation so stimmt)
[mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{(z-1)^{n}} dz} [/mm] = [mm] \bruch{n!*1*2*\pi*i}{(n-1)!} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*n [/mm] (die (n-1)-te Ableitung von f ist n!*z)
Passt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Löse mit der Cauchyschen Integralformel:
> > >
> > > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm]
> > > 1
> > > Hallo. Ich habe bereits ein paar Aufgaben mittels CI
> > > gelöst, das prinzipielle Vorgehen ist klar, aber hier
> > > komme ich nicht weiter. Mein Ansatz lautet:
> > >
> > > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{(\bruch{z}{z-1})^{n} dz}[/mm] =
> > > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}} dz}[/mm] =
> > > [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z-1} dz}[/mm] mit f(z) =
> > > [mm]\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n-1}}[/mm]
> > >
> > > Aber wenn ich jetzt die CI anwende steht bei f(1) die Null
> > > im Nenner....
> > >
> > > Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
> >
> >
> > Setze [mm]f(z):=z^n.[/mm] Dann ist
> > [mm]\bruch{z^{n}}{(z-1)^{n}}=\bruch{f(z)}{(z-1)^n}[/mm]
> >
> > Jetzt Cauchysche Integralformel für Ableitungen.
> >
> > FRED
> Vielen Dank. Ich versuche es mal:
> (ich weiß nicht genau ob meine Notation so stimmt)
>
> [mm]\integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{(z-1)^{n}} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!*1*2*\pi*i}{(n-1)!}[/mm] = [mm]2*\pi*i*n[/mm] (die (n-1)-te
> Ableitung von f ist n!*z)
>
> Passt das so?
Ja
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 10.06.2015 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank Fred!
Hier noch eine Aufgabe:
[mm] \integral_{|z|=\bruch{1}{2}}^{}{\bruch{\cos{z}}{z^{3}*(1-z)} dz} [/mm]
Ist der Ansatz f(z)= [mm] \bruch{\cos{z}}{(1-z)} [/mm] und dann über CI für Ableitungen richtig?
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Hallo Calculu,
> Vielen Dank Fred!
> Hier noch eine Aufgabe:
>
> [mm]\integral_{|z|=\bruch{1}{2}}^{}{\bruch{\cos{z}}{z^{3}*(1-z)} dz}[/mm]
> Ist der Ansatz f(z)= [mm]\bruch{\cos{z}}{(1-z)}[/mm] und dann über
> CI für Ableitungen richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 10.06.2015 | | Autor: | MoZ |
Nur noch einmal zum tieferen Verständnis:
Wie behandelt man nun die Dritte Potenz noch?
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Hallo MoZ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Nur noch einmal zum tieferen Verständnis:
> Wie behandelt man nun die Dritte Potenz noch?
In Anlehnung an das vorangegangene Beispiel geht das so:
[mm]\integral_{|z|=\bruch{1}{2}}^{}{\bruch{\cos{z}}{z^{3}\cdot{}(1-z)} dz} =\integral_{|z|=\bruch{1}{2}}^{}{\bruch{f\left(z\right)}{z^{3}} dz}=\bruch{2\pi i}{2!}\left \bruch{d^{2}}{dz^{2}}f\left(z\right) \right|_{z=0}[/mm]
Gruss
MathePower
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