Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel berechne man folgendes Integral:
[mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3}} [/mm] |
Hallo an alle! Könnt ihr mir erklären wie ich ein Integral mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ausrechnen kann?
Ich kenne zwar die veralgemeinerte Formel vom Cauchy, habe aber überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll, kann mir das jemand erklären??? Bin ratlos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-1)^3} [/mm] und [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] -1+e^{it} [/mm] ( t [mm] \in [0,2\pi [/mm] i])
(Zeichnung !!)
Nach der Cauchyschen Integralformel ist dann:
$ [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3}} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{(z+1)}dz}$ [/mm] = [mm] $2\pi [/mm] i f(-1) = - [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] i $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 11.01.2009 | | Autor: | Denise86 |
Vielen Dank, Fred für deine Hilfe. Ich konnte es nun auch nachvollziehen, wie man den Integral mit der Cauchyschen Integralformel berechnet. So nun, verstehe ich nicht so ganz wieso das ganze so abläuft. ich weiß nur, dass man den Integral des Differentialquotienten betrachtet, gleich 0 setzt (wegen dem Cauchyschen Integralsatz) und durch elementare Umformungen auf die Cauchysche Integralformel kommt, so nun ist die Frage, wieso nehme ich f(x) bei den Umformungen als konstant an und ziehe das aus dem Integral raus? und wieso betrachte ich überhaupt den Differenzialqoutient? Wegen der Holomorphie, habe ich gelesen. aber ich verstehe nicht wie ein Gebiet holomorph sein kann, wenn es einen Punkt z gibt, dessen Wert nicht differenzierbar ist, dieses Gebiet ist ja im Punkt z nicht holomorph, oder? warum nehme ich dennoch den Differenzialqoutienten? und warum setze ich den Integral der D.-qoutienten dem 0 gleich, wenn ich auf dem Rand der Kreisscheibe um den punkt z0 integriere? man darf doch den Cauchyschen Integralsatz nur dann anwenden, wenn Integral außerhalb dieser Kreissscheiebe liegt. wie kann ich mir das geometrisch vorstellen? und noch eine Frage: ich integriere ja über den Rand einer Kreisscheibe, darf ich auch über eine zu der Kreisscheibe homotope Fkt. integrieren? Ich glaube ich habe alles durcheinander geschmießen und kann irgendwie nicht auf den Punkt kommen, bzw. eine klare Struktur ´über die C. Integralformel schaffen. Bitte helft mir, muss morgen den Vortrag darüber halten und habe es nicht ein mal selber begriffen!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, Fred für deine Hilfe. Ich konnte es nun auch
> nachvollziehen, wie man den Integral mit der Cauchyschen
> Integralformel berechnet. So nun, verstehe ich nicht so
> ganz wieso das ganze so abläuft. ich weiß nur, dass man den
> Integral des Differentialquotienten betrachtet, gleich 0
> setzt (wegen dem Cauchyschen Integralsatz) und durch
> elementare Umformungen auf die Cauchysche Integralformel
> kommt, so nun ist die Frage, wieso nehme ich f(x) bei den
> Umformungen als konstant an und ziehe das aus dem Integral
> raus? und wieso betrachte ich überhaupt den
> Differenzialqoutient? Wegen der Holomorphie, habe ich
> gelesen. aber ich verstehe nicht wie ein Gebiet holomorph
> sein kann, wenn es einen Punkt z gibt, dessen Wert nicht
> differenzierbar ist, dieses Gebiet ist ja im Punkt z nicht
> holomorph, oder? warum nehme ich dennoch den
> Differenzialqoutienten? und warum setze ich den Integral
> der D.-qoutienten dem 0 gleich, wenn ich auf dem Rand der
> Kreisscheibe um den punkt z0 integriere? man darf doch den
> Cauchyschen Integralsatz nur dann anwenden, wenn Integral
> außerhalb dieser Kreissscheiebe liegt. wie kann ich mir das
> geometrisch vorstellen? und noch eine Frage: ich integriere
> ja über den Rand einer Kreisscheibe, darf ich auch über
> eine zu der Kreisscheibe homotope Fkt. integrieren? Ich
> glaube ich habe alles durcheinander geschmießen und kann
> irgendwie nicht auf den Punkt kommen, bzw. eine klare
> Struktur ´über die C. Integralformel schaffen. Bitte helft
> mir, muss morgen den Vortrag darüber halten und habe es
> nicht ein mal selber begriffen!!!
Hast Du etwas getrunken ? Von was redest Du ?
Für den Vortrag: lass Dich krank schreiben.
FRED
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