Cauchyscher Integralsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 14.07.2007 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Sei W:= [mm] \{z \in \C : Im(z)\ge 0 \}
[/mm]
Für R > 1, sei [mm] \gamma_R [/mm] := [mm] \delta_+ [/mm] E(R) der im positiven Sinne durchlaufene Rand von E(R) := [mm] \{ z\in W : |z|\le R\} [/mm]
Berechne
[mm] \bruch{1}{2\*\pi\*i}\* \integral_{\gamma}{\bruch{\pi}{z-i}) dz}
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{2\*\pi\*i}\* \integral_{\gamma}{\bruch{\pi}{z +i}) dz}
[/mm]
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Laut Musterlösung kann bei dem ersten Integral die Cauchysche Integralformel verwendet werden so dass das Integral den Wert [mm] \pi [/mm] annimmt.
Bei dem zweiten Integral kann der Integralsatz von Cauchy angewendet werden und der Wert ist dann 0.
Mir ist nicht klar, wann man die Integralformel anwendet und wann den Integralsatz von Cauchy.
Meine Überlegung dazu ist, dass i nicht im Inneren von E(R) liegt und damit das Integral 0 ist.
Oder muss man etwas anderes überprüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 14.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> Sei W:= [mm]\{z \in \C : Im(z)\ge 0 \}[/mm]
> Für R > 1, sei [mm]\gamma_R[/mm] := [mm]\delta_+[/mm] E(R) der im positiven Sinne durchlaufene Rand
> von E(R) := [mm]\{ z\in W : |z|\le R\}[/mm]
Also ist E(R) die obere Hälfte des Kreises um 0 mit Radius R > 1, richtig?
> Berechne
> [mm]\bruch{1}{2\*\pi\*i}\* \integral_{\gamma}{\bruch{\pi}{z-i}) dz}[/mm]
>
> und
> [mm]\bruch{1}{2\*\pi\*i}\* \integral_{\gamma}{\bruch{\pi}{z +i}) dz}[/mm]
>
> Laut Musterlösung kann bei dem ersten Integral die
> Cauchysche Integralformel verwendet werden so dass das
> Integral den Wert [mm]\pi[/mm] annimmt.
> Bei dem zweiten Integral kann der Integralsatz von Cauchy
> angewendet werden und der Wert ist dann 0.
>
> Mir ist nicht klar, wann man die Integralformel anwendet
> und wann den Integralsatz von Cauchy.
> Meine Überlegung dazu ist, dass i nicht im Inneren von
> E(R) liegt und damit das Integral 0 ist.
Korrekt, wenn du -i gemeint hast 
i liegt in E(R), aber -i außerhalb. Deshalb ist der Integrand des zweiten Integrals in der ganzen oberen Halbebene W holomorph, und das Integral über jede geschlossene Kurve in W ist 0.
Beim ersten Integral liegt die Nullstelle des Nenners des Integranden (nämlich [mm]i[/mm]) in E(R), deswegen nimmt man die Integralformel.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 15.07.2007 | | Autor: | ck2000 |
Kann ich also immer davon ausgehen, dass ich bei einem Integral über einen Bruch auf den Definitionsbereich achten muss und dann dieses Integral den Wert 0 hat, falls die Nullstelle vom Nenner außerhalb des Definitionsbereichs liegt?
Bis jetzt war mir nämlich der Unterschied zwischen den zwei Sätzen aus unserer Vorlesung nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Kann ich also immer davon ausgehen, dass ich bei einem
> Integral über einen Bruch auf den Definitionsbereich achten
> muss und dann dieses Integral den Wert 0 hat, falls die
> Nullstelle vom Nenner außerhalb des Definitionsbereichs
> liegt?
Auf die Nullstellen des Nenner musst du achten, aber so formuliert ist es im Allgemeinen nicht richtig. Gegenbeispiel: Wenn du in deiner Aufgabe den Punkt i einfach nur aus dem Definitionsbereich herausnehmen würdest, wäre das erste der beiden Integrale ja immer noch ungleich 0.
Der Definitionsbereich muss ein sogenanntes ![[]](/images/popup.gif) Sterngebiet sein. Dann gilt der Integralsatz für geschlossene Kurven und holomorphe Funktionen. Ein Bruch mit einer Nullstelle im Nenner ist ja gerade an diesem Punkt nicht holomorph.
Die obere Halbebene ist ein Sterngebiet, der Zähler des Bruches ist holomorph, der Nenner ein Polynom; damit reicht in diesem Fall, sich die Nullstellen des Nenners anzuschauen und zu überprüfen ob sie in E(R) (und damit innerhalb des Integrationswegs) liegen.
Grüße
Rainer
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