Charakteristik R[x],R < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Topologe,
Es geht ja dabei um eine (eindeutig bestimmte) Einbettung [mm] $\IZ/n\IZ\longrightarrow [/mm] R $ von unitalen Ringen, wobei $ [mm] n=\operatorname{char}R [/mm] $. Ich würde das ganze dann einfach verlängern zu $ [mm] \IZ/n\IZ\longrightarrow R\longrightarrow [/mm] R [X] $, wobei der zweite Homomorphismus einfach der aus der universellen Eigenschaft des Polynomringes ist.
Vom Prinzip her ist es natürlich ungefähr das, was du auch zu begründen versucht hast. Natürlich braucht man dazu keinen Polynomring, sondern irgendein Ring, in den man $ R $ einbetten kann, hat dieselbe ChCharakteristik, was ja eigentlich auch klar ist, denn wieso sollte sich der Prim-teilring auch ändern, wenn man das ganze Konstrukt innerhalb eines größeren Ringes betrachtet.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo Topologe,
Ja, das sieht so weit richtig aus. Für dein [mm] $\phi [/mm] (n)$ schreibt man üblicherweise $ [mm] n\cdot 1_R [/mm] $, diese Schreibweise ist auch bei additiven Gruppen üblich. Dann sieht der Homomorphismus etwas hübscher aus.
Edit: Ich habe es jetzt erst bemerkt, aber wenn du es mit deiner Fallunterscheidung machst, muss es im 3. Fall [mm] $-\phi(-n)$ [/mm] heißen.
Lass mich unabhängig vom Thema etwas zu diesem Homomorphismus sagen. Es ist aus der Gruppentheorie bekannt, dass ein Homomorphismus eindeutig durch die Wirkung auf ein Erzegendsystem festgelegt ist (dies gilt für beliebige algebraische Strukturen). Im Fall von [mm] $\mathbb [/mm] {Z} $ also durch die Wirkung auf $1$. Da bei einem Homomorphismus von unitalen Ringen die $1$ auf die $1$ geht, kann es also höchstens einen Homomorphismus [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow [/mm] R $ geben. Dass dieser tatsächlich stets durch $ [mm] n\longmapsto n\cdot 1_R [/mm] $ gegeben ist, rechnet man schnell nach. Wir haben die Aussage: In der Kategorie der unitalen Ringe existiert für jedes Objekt $ R $ genau ein Morphismus [mm] $\mathbb [/mm] {Z [mm] }\longrightarrow [/mm] R $. In anderem Gewand ist diese Aussage wohlbekannt. Etwa: In der Kategorie der abelschen Gruppen [mm] (=$\mathbb [/mm] {Z} $-Moduln), oder beliebigen $ R $-Moduln existiert für jedes Objekt $ A $ genau ein Morphismus [mm] $0\longrightarrow [/mm] A $. Oder in der Kategorie der Mengen existiert für jedes Objekt $ M $ genau ein Morphismus [mm] $\emptyset\longrightarrow [/mm] M $. Ein solches Objekt [mm] $\emptyset [/mm] $ heißt auch initiales Objekt . Dieses Konzept ist überaus wichtig.
In unserem Fall können wir den Kern herausteilen und stellen fest, dass es für jeden unitalen Ring $ R $ genau eine Einbettung eines Quotienten von [mm] $\mathbb [/mm] {Z} $ in $ R $ gibt (warum?). Man kann also auf entsprechende Weise die Charakteristik des Ringes definieren. Dies liefert einige Informationen mehr, als die etwas naivere Definition: Die kleinste Zahl n, sodass die n-fache Summe von 1 null ergibt. Denn wir kennen auf diese Weise schon einen Teilring von R, den Primring . Besonders interessant ist dieser im Fall von Körpern, wo die Charakteristik entweder positiv ist (dann (bzw. allgemeiner für nullteilerfreie Ringe) ist sie eine Primzahl (warum?) - daher der Name Primring/Primkörper), oder 0. Im endlichen Fall ist der Primring bereits ein Körper. Man beachte, dass Charakteristik Null in unserer Definition auf natürliche Weise enthalten ist, denn dann haben wir eine Einbettung [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow [/mm] R $, das heißt [mm] $1_R [/mm] $ hat als Element der additiven Gruppe betrachtet unendliche Ordnung. Bei der naiven Definition muss dies als Spezialfall betrachtet werden. Ist R ein Körper, so können wir den durch den Primring erzeugten Unterkörper betrachten und bei Charakteristik 0 kann man leicht nachrechnen, dass dieser isomorph zu [mm] $\mathbb [/mm] {Q} $ ist. Wir haben also: Jeder Körper mit Charakteristik Null enthält die rationalen Zahlen als Primkörper. Dies gilt insbesondere für angeordnete Körper und wir erhalten so leicht das Resultat aus der Analysis I wieder.
Aber dies alles nur als Hintergrund 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Do 02.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Wow, vielen Dank für die Hintergrundinfos. Waren mir so in der Form erst einmal nicht bewusst
LG
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