Charakteristische Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne die charakteristische Funktion einer auf dem Intervall (a, b) gleichverteilten Zufallsvariablen mit a < b. Für welche Paare (a, b) ist sie reell? |
Ich weiss, wie die charakteristische Funktion lt. wiki aussieht, sehe aber nicht, wo ich mit meiner Aufgabe dort ansetzen soll...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
die Dichte einer auf [a,b] Gleichverteilten Funktion ist [mm] \bruch{1}{b-a}.
[/mm]
MFG,
Gono.
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Spielt es eine Rolle, dass mein Intervall offen ist also (a,b) ?
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Naja, die Frage solltest du dir selbst beantworten können 
Was sind einzelne Punkte denn bezogen auf die Gleichverteilung?
MFG,
Gono.
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Na am Rand, oder was meinst du?
Die char.Funktion hierzu ist ja: [mm] \gamma [/mm] _x (t) = [mm] \bruch{1}{(b-a)it}(e^{itb}-e^{ita}).
[/mm]
1)Ich weiss nur nicht, ob ich nun fertig bin oder weitermachen muss.
2)Wenn (a,b) reell sein soll, kommt es wahrscheinlich auf t an, oder?
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> Na am Rand, oder was meinst du?
Nee, ich meine sie sind Nullmengen und daher ist es egal, ob du (a,b) oder [a,b] oder (a,b] oder [a,b) betrachtest.
> Die char.Funktion hierzu ist ja: [mm]\gamma[/mm] _x (t) =
> [mm]\bruch{1}{(b-a)it}(e^{itb}-e^{ita}).[/mm]
Korrekt
> 1)Ich weiss nur nicht, ob ich nun fertig bin oder
> weitermachen muss.
Nö, die stimmt soweit.
> 2)Wenn (a,b) reell sein soll, kommt es wahrscheinlich auf
> t an, oder?
Ja, und wenn du dir den Faktor vor der Klammer anguckst, wird der Wert eben genau dann reell, wenn [mm] $(e^{itb}-e^{ita})$ [/mm] von der Form [mm] $ki,k\in\IR$ [/mm] ist.
Mal als kleine Zwischenfrage? Wie sieht denn [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] als komplexe Zahl aus?
MFG,
Gono.
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Danke für die ausgiebige Antwort.
Was meinst du denn mit ki, [mm] k\in\IR [/mm] ?
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Hmpf, das was halt dasteht. Also anders:
$ [mm] \bruch{1}{(b-a)it}(e^{itb}-e^{ita}) [/mm] $
ist ja die Charakteristische Funktion.
Ist die reell- oder komplexwertig?
Woran erkennt man das?
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1.Da i die imaginäre Einheit ist, tippe ich auf komplex. Also wie bekomme ich es reell?
2.Mal eine andere Frage: ich habe die obige Gleichung zur charakteristischen Funktion bei wiki gefunden, aber bei der Herleitung fehlt mir das "it" im ersten Faktor..
Die allgemeine Formel ist doch: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)e^{itx} dx}
[/mm]
Dann setze ich für f(x) unsere Dichte ein und integriere. Wenn unsere Formel für die char.Fkt stimmt, dann muss [mm] \integral_{a}^{b}{e^{itx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{it}(e^{itb}-e^{ita}) [/mm] Ist das so?
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> 1.Da i die imaginäre Einheit ist, tippe ich auf komplex.
> Also wie bekomme ich es reell?
So, hier erstmal ein klares Jein
Das ist eben nur dann komplex, wenn [mm] (e^{itb} [/mm] - [mm] e^{ita}) [/mm] NICHT von der Form $k*i$ ist, denn wenn es das ist, kürzt sich das i eben gerade raus.
D.h. es ist eben genau dann reell, wenn der Realteil von [mm] (e^{itb} [/mm] - e{ita}) gleich Null ist.
> Wenn unsere Formel für
> die char.Fkt stimmt, dann muss [mm]\integral_{a}^{b}{e^{itx} dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{it}(e^{itb}-e^{ita})[/mm] Ist das so?
Du wirst doch wohl [mm] e^{itx} [/mm] nach x integrieren können, oder?
MFG,
Gono.
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> Du wirst doch wohl [mm]e^{itx}[/mm] nach x integrieren können,
> oder?
Dann würde ich nicht fragen....
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> > Du wirst doch wohl [mm]e^{itx}[/mm] nach x integrieren können,
> > oder?
>
> Dann würde ich nicht fragen....
Naja, und ich geh davon aus, dass jemand der Stochastik hört, zumindest in der Schule Abitur gemacht hat
Es gilt: [mm] $\integral{e^{ax}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}e^{ax} [/mm] + c, [mm] a\in\IR\setminus\{0\}, c\in\IR$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Kann ich sagen, dass [mm] (e^{itb}-e^{ita}) [/mm] den Realteil Null hat, wenn a=b?
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Ich ziehe die letzte Frage zurück. Es gilt ja a<b. Aber wie kann ich die Paare (a,b) spezifizieren, s.d. die char.Fkt reell ist?
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Ok, darum die Frage vorhin, ob du weisst, was [mm] $e^{i\varphi}$ [/mm] in der komplexen Zahlenebene bedeutet.... anscheinend nicht.
Dann nutze die eulersche Formel [mm] $e^{i\varphi} [/mm] = [mm] \cos\left(\varphi \right) [/mm] + [mm] i\sin\left( \varphi\right)$ [/mm]
Dann kannst du ja nach Real- und Imaginärteil sortieren und der Realteil muss gerade 0 werden.
MFG,
Gono.
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