Charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:47 Di 08.05.2012 | | Autor: | Chuck12 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute,
kurze Frage zu charakteristischen Funktionen der Form:
E[e^(itx)]
Welchen Vorteil besitzt die Verwendung des imaginären Anteils, bzw. wie kann ich mir seine Auswirkung hier vorstellen? Mir ist bewusst, dass ich die momenterzeugende Funktion um "i" (imaginäre Zahl) erweitern kann und dann eine endliche und wohldefinierte charakteristische Funktion erhalte, die durch die Beziehung von Sinus und Cosinus an ein Intervall gebunden ist.
Die Aussage verstehe ich leider nur halb und das "mir ist bewusst" können wir gerne durch "ich habe gelesen, dass" ersetzen :(
Kann mir es einer anschaulich verdeutlichen (Unterschied der Funktionen und Wirkung...). Warum existiert diese Funktion immer ("i" kann eine komplexe Zahl sein, muss aber nicht oder? Was hilft sie mir wenn es gerade keine ist, bzw. wie verbesser sie die Formel wenn sie eine ist? )?
Bzw warum sollte es Fälle geben, in denen die Momenterzeugende Funktion versagt? Ich hatte es bisher so verstanden, dass man die Momenterzeugende Funktion als eine Art (!) Dichtefunktion interpretieren kann... Was soll ich da mit negativen Wurzeln, bzw. was sollen sie mir helfen?
"Eulerformel" wird in diesem Zusammenhang gerne in den Raum geworfen... Aber das ist ja nicht nur "eine" :(
vielen Dank :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi Charles,
das Einfügen des imaginären Anteils bewirkt hier, dass dieser Ausdruck für reellwertige Zufallsvariablen überhaupt wohldefiniert ist.
Lassen wir den imaginären Anteil mal weg, dann steht da:
[mm] $E[e^{tX}]$
[/mm]
Wer sagt dir, dass dieser Erwartungswert überhaupt für alle t existiert?
Im Normalfall tut er das nämlich gar nicht.
Fügen wir aber den imaginären Anteil an, gilt:
[mm] $\left|E[e^{itX}]\right| \le E[|e^{itX}|] [/mm] = E[1] = 1$ (da [mm] $\forall x\in\IR: |e^{ix}| [/mm] = 1$ )und damit ist sichergestellt, dass dieser Erwartungswert auch wirklich immer existiert.
MFG,
Gono.
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