Charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Di 20.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Hallo an alle.
Ich bin gerade dabei, mich über charakteristische Polynome, Eigenwerte usw. schlau zu machen.
Nun habe ich ein Problem beim charakteristischen Polynom.
Wenn ich eine 4x4 Matrix habe, ziehe ich doch einfach bei den Werten auf der Diagonalen x ab, entwickle die Matrix nach der z.B ersten Spalte und rechne dann die Determinante der übriggebliebenen Matrix aus. Dann multipliziere ich die Terme aus und hab das charakteristische Polynom.
Ist das so weit richtig?
Nun die wirkliche Frage.
Bei meiner Matrix sind in der Diagonalen nur Nullen, bis auf [mm]a_{44}[/mm], da ist eine 2.
Es würde sich sehr anbieten, die Matrix nach der 1. Spalte zu entwickeln, da dort nur eine 1 in der 2. Zeile steht und sonst nur Nullen.
Wenn ich das mache, habe ich als Determinante aber am Ende 2 raus, es sind also alle x verschwunden....Das wundert mich ein wenig, da ich keine Idee habe, was dann mein ch. Polynom sein soll...
Ich hoffe, man kann mit meiner allgemeinen Beschreibung etwas anfangen, ich möchte das nämlich ganz gern selber lösen, deshalb habe ich die Matrix jetzt nicht gepostet.
Wenn man so nichts erklären kann, werde ich sie noch posten.
Danke schon mal und bis denne,
Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 20.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis,
> Ich bin gerade dabei, mich über charakteristische Polynome,
> Eigenwerte usw. schlau zu machen.
Sehr löblich.
> Wenn ich eine 4x4 Matrix habe, ziehe ich doch einfach bei
> den Werten auf der Diagonalen x ab, entwickle die Matrix
> nach der z.B ersten Spalte und rechne dann die Determinante
> der übriggebliebenen Matrix aus. Dann multipliziere ich die
> Terme aus und hab das charakteristische Polynom.
> Ist das so weit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun die wirkliche Frage.
>
> Bei meiner Matrix sind in der Diagonalen nur Nullen, bis
> auf [mm]a_{44}[/mm], da ist eine 2.
Okay.
> Es würde sich sehr anbieten, die Matrix nach der 1. Spalte
> zu entwickeln, da dort nur eine 1 in der 2. Zeile steht und
> sonst nur Nullen.
Hört sich gut an.
> Wenn ich das mache, habe ich als Determinante aber am Ende
> 2 raus, es sind also alle x verschwunden....Das wundert
> mich ein wenig, da ich keine Idee habe, was dann mein ch.
> Polynom sein soll...
Das kann nicht sein. Das charakteristische Polynom einer [mm]4 \times 4[/mm]-Matrix muss mit [mm]X^4[/mm] beginnen, ganz egal wie die Matrix genau aussieht. Irgendwo hast du die [mm]X[/mm]-en auf der Diagonale "verschlampt".
Poste doch deine komplette Rechnung mal, dann sage ich dir, wo dein Fehler liegt. 
> Ich hoffe, man kann mit meiner allgemeinen Beschreibung
> etwas anfangen, ich möchte das nämlich ganz gern selber
> lösen, deshalb habe ich die Matrix jetzt nicht gepostet.
Sehr löblich, aber wenn du mir das so sagst, dann lasse ich dich schon rechnen, auch wenn du die Matrix postest (auch wenn es mir dann in den Fingern juckt).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
So, da bin ich wieder.
War ein wenig zu doof, tut mir sogar leid dich mit dem unsinn beschäftig zu haben.
Also, die Matrix ist ein [mm] \IQ^{4x4}[/mm] Matrix und sieht wie folgt aus:
[mm]\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} [/mm]
Als ch. Polynom habe ich nun mit 2 verschiedenen Wegen 2 verschiedene Sachen raus, was mich etwas ärgert, ich finde aber den Fehler nicht.
Beim ersten Weg habe ich nach der 1. Spalte entwickelt und dann [mm]x^4-2x^3+2x+1[/mm] raus.
Beim 2. Weg hab ich die erste und die 3 Zeile vertauscht und die Matrix dann in 4 2x2 Matrizen unterteilt, von denen dann die Determinante ja die Determinante der Matrix oben links mal der Determinante der Matrix unten rechts ist, sofern eine der anderen beiden Matrizen eine Nullmatrix ist, was ja durch die Vertauschung so ist.
Nun muss ich ja wegen der einen Zeilenvertauschung einmal das Vorzeichen wechseln, sehe ich das richtig?
Weiß nur leider nicht genau wie, habe da aber dann [mm]x^4-2x^3-2x^2+2x+[/mm]1 raus.
Das Ergebnis kommt mir etwas besser vor, da beim anderen keine rationale Nullstelle vorhanden ist, es also keine Eigenwerte gibt, oder sehe ich das falsch? Wegen der Tatsache das die Matrix aus [mm]\IQ[/mm] ist, kommen doch nur rationale werte in Betracht, oder?
Naja, ich werde also noch nicht ganz schlau aus der Aufgabe:(
Ich danke dir jetzt schon mal, bis denne
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
> So, da bin ich wieder.
Ja, tut mir leid, dass der MR heute für einige Stunden nicht erreichbar war und damit diese Diskussion etwas unterbrochen hat.
> War ein wenig zu doof, tut mir sogar leid dich mit dem
> unsinn beschäftig zu haben.
>
> Also, die Matrix ist ein [mm]\IQ^{4x4}[/mm] Matrix und sieht wie
> folgt aus:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}[/mm]
Also, die Matrix ist
[mm]A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
und das charakteristische Polynom dann
[mm]|A-\lambda*E_4|=\begin{vmatrix} 0-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0-\lambda & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}[/mm]
> Als ch. Polynom habe ich nun mit 2 verschiedenen Wegen 2
> verschiedene Sachen raus, was mich etwas ärgert, ich finde
> aber den Fehler nicht.
Okay, ich versuche es auch mal, diese Determinante auszurechnen:
[mm]\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}[/mm]
Entwicklung nach der ersten Spalte:
[mm]=-\lambda*\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}[/mm][mm]-1*\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}[/mm]
Berechnung der [mm] 3\times 3 [/mm] Determinanten nach der Regel von Sarrus:
[mm]=-\lambda * (\lambda^2*(2-\lambda)-2-0) -1*(1) [/mm]
[mm]=-\lambda * (2\lambda^2-\lambda^3-2) -1 [/mm]
[mm]=-2\lambda^3 +\lambda^4+2\lambda -1 [/mm]
[mm]=\lambda^4-2\lambda^3 +2\lambda -1 [/mm]
> Beim ersten Weg habe ich nach der 1. Spalte entwickelt und
> dann [mm]x^4-2x^3+2x+1[/mm] raus.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , da stimmt das letzte Vorzeichen nicht.
> Beim 2. Weg hab ich die erste und die 3 Zeile vertauscht
> und die Matrix dann in 4 2x2 Matrizen unterteilt, von denen
> dann die Determinante ja die Determinante der Matrix oben
> links mal der Determinante der Matrix unten rechts ist,
> sofern eine der anderen beiden Matrizen eine Nullmatrix
> ist, was ja durch die Vertauschung so ist.
, das sehe ich nicht so. Bei der Matrix A ist das vielleicht der Fall, dass dadurch links unten eine 2x2-Null-Untermatrix entesteht, aber bei der Matrix [mm] A-\lambda*E_4 [/mm] ist das nicht mehr so. Von dieser Matrix wird dann aber die Determinante berechnet.
> Nun muss ich ja wegen der einen Zeilenvertauschung einmal
> das Vorzeichen wechseln, sehe ich das richtig?
> Weiß nur leider nicht genau wie, habe da aber dann
> [mm]x^4-2x^3-2x^2+2x+[/mm]1 raus.
>
> Das Ergebnis kommt mir etwas besser vor, da beim anderen
> keine rationale Nullstelle vorhanden ist, es also keine
> Eigenwerte gibt, oder sehe ich das falsch? Wegen der
> Tatsache das die Matrix aus [mm]\IQ[/mm] ist, kommen doch nur
> rationale werte in Betracht, oder?
Du meinst, als Eigenwerte kämen dann nur rationale Werte in Betracht? Das stimmt sicher nicht, es können reelle oder sogar komplexe Eigenwerte herauskommen. Zum Beispiel haben wir bei einem charakteristischen Polynom [mm] x^2-2 [/mm] die reellen Eigenwerte [mm] \{\sqrt{2},-\sqrt{2}\} [/mm] und bei [mm] x^2+1 [/mm] die komplexen Eigenwerte [mm] \{i,-i\} [/mm] (falls du mir nicht glaubst, dass diese beiden Polynome tatsächlich die charakteristischen Polynome zweier Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IQ [/mm] sind, dann liefere ich sie gerne noch nach )
> Naja, ich werde also noch nicht ganz schlau aus der
> Aufgabe:(
Und, ein bißchen schlauer geworden?
-Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Marc.
Hast recht, habe bei der Determinanten der 2. Zeile, 1. Spalte, nicht [mm](-1)^{2+1}[/mm] gerechnet, dadurch ist mir das Minus abhanden gekommen....Immer die blöde Flüchtigkeitsfehler.
Als Ergebnis habe ich nun 1 und -1 als Eigenwerte raus und als Eigenvektoren
[mm]
\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Sind das jetzt alle Eigenwerte und Eigenvektoren, oder gibt es noch mehr?
Außerdem soll ich jetzt noch alle Eigenräume von der Matrix mit Basen angeben. Ist ein Eigenraum jetzt einfach der Nullvektor mit einem Eigenvektor? Ich habe die Erklärungen in meinem Buch nicht so ganz verstanden.
Ich danke dir für die Hilfe,
Alexis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
> Hast recht, habe bei der Determinanten der 2. Zeile, 1.
> Spalte, nicht [mm](-1)^{2+1}[/mm] gerechnet, dadurch ist mir das
> Minus abhanden gekommen....Immer die blöde
> Flüchtigkeitsfehler.
Ich merke mir diese Vorzeichen an Hand dieses Schemas:
[mm] \begin{pmatrix}
+ & - & + & \cdots \\
- & + & - & \cdots \\
+ & - & + & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix} [/mm]
Also von links oben mit + startend immer abwechselnd +/-.
> Als Ergebnis habe ich nun 1 und -1 als Eigenwerte raus und
> als Eigenvektoren
> [mm]
> \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Sind das jetzt alle Eigenwerte und Eigenvektoren, oder gibt
> es noch mehr?
Ja, das sind alle bzw. mehr habe ich auch nicht gefunden.
Allerdings sind natürlich auch alle Vielfache dieser beiden Vektoren Eigenvektoren zu dem jeweiligen Eigenwert, in diesem Sinne waren es doch noch nicht alle Eigenvektoren
> Außerdem soll ich jetzt noch alle Eigenräume von der Matrix
> mit Basen angeben. Ist ein Eigenraum jetzt einfach der
> Nullvektor mit einem Eigenvektor? Ich habe die Erklärungen
Zu einem Eigenwert kann es ja theoretisch auch mehrere linear unabhängige Eigenvektoren geben; der Raum, der von den Eigenvektoren eines bestimmten Eigenwertes aufgespannt wird (="lineare Hülle") nennt man dann Eigenraum.
In diesem Fall sind beiden Eigenräume aber 1-dim, also ist der Eigenraum zum Eigenwert 1:
[mm] ER_1 = \left\{ s*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}|s\in\IR\right\} [/mm]
und der ER zum EW -1:
[mm] ER_{-1} = \left\{ s*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-3 \\ 1 \end{pmatrix}|s\in\IR\right\} [/mm]
Die beiden Vektoren, die du angegeben hast, bilden also jeweils eine Basis für die Eigenräume zu den zugehörigen Eigenwerten.
> in meinem Buch nicht so ganz verstanden.
Jetzt?
-marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Ja, jetzt hab ich schon mehr verstanden....
Aber eine Sache ist mir jetzt unklar....
Müsste denn jetzt nicht wenigstens dein [mm]s \in \IQ[/mm] sein?
Schränkt mich das [mm]A \in \IQ^{4x4}[/mm] denn überhaupt irgendwie ein, oder hat das mit der ganzen Problematik der Aufgabe überhaupt nichts zu tun???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
[mm] A\in\IQ^{4\times4} [/mm] bedeutet ja nur, dass die Einträge der Matrix rational sein sollen.
Trotzdem könnte es ja eine Abbildung [mm] \IR^4 \to\IR^4 [/mm] sein, das habe ich jetzt einfach mal angenommen. Steht denn vielleicht in der Aufgabestellung noch, zwischen welchen Vektorräumen die Matrix abbildet? Wenn sie zwischen [mm] \IQ^4\to \IQ^4 [/mm] abbildet, hättest du natürlich recht.
-marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Nein, da steht nichts davon, ich wusste nur nicht genau, was ich mit dem Q anfangen sollte, aber das hast du mir ja jetzt erklärt.....
Hat es denn jetzt noch was damit auf sich, dass ich als Nullstellen 1,1,1-1 rausbekommen habe, sprich, dass ich eine 3 Fache Nullstelle bei 1 habe?
Ich habe nämlich eben noch so ein Programm gefunden, dass mir die Eigenwerte und Eigenvektoren automatisch ausrechnet, und das hat mir dann noch zu den 2 Eigenvektoren die ich selbst herausbekommen habe, 2 mal den Eigenvektor [mm] (0000)^T [/mm] ausgegeben, was mir aber sehr seltsam vorkommt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
> Hat es denn jetzt noch was damit auf sich, dass ich als
> Nullstellen 1,1,1-1 rausbekommen habe, sprich, dass ich
> eine 3 Fache Nullstelle bei 1 habe?
Das bedeutet nicht viel (in diesem Zusammenhang), glaube ich. Die Vielfachheit der Nullstelle ist eine obere Grenze für die Dimension des zugehörigen Eigenraumes.
In diesem Fall heißt das, das der zum EW 1 zugehörige Eigenraum maximal die Dimension 3 haben kann (tatsächlich hat er ja die Dimension 1).
Interessanter ist da schon die Feststellung, dass der Eigenraum zu -1 maximal die Dimension 1 hat, dass wir also sicher davon ausgehen können, dass wir ihn vollständig bestimmt haben.
> Ich habe nämlich eben noch so ein Programm gefunden, dass
> mir die Eigenwerte und Eigenvektoren automatisch
> ausrechnet, und das hat mir dann noch zu den 2
> Eigenvektoren die ich selbst herausbekommen habe, 2 mal den
> Eigenvektor [mm] (0000)^T [/mm] ausgegeben, was mir aber sehr seltsam
> vorkommt....
Das stimmt, der Nullvektor ist nie (per Definition) ein Eigenvektor.
So, ich muß jetzt weg und schaue heute Nacht noch mal ins Forum.
Alles Gute,
Marc.
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