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Forum "stochastische Analysis" - Chebyshev Ungleichung
Chebyshev Ungleichung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Chebyshev Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:58 So 31.01.2010
Autor: pojo

Aufgabe
Es ist X ~ Hyp(100,50,50) (k = 0,1,..50)

Mit der Chebyschev-Ungleichung soll

P(X [mm] \le [/mm] 15) [mm] \le \frac{1}{16} [/mm]

gezeigt werden.


Laut der Chebyshev Ungleichung heißt es

P(|X-EX| [mm] \ge \epsilon) \ge \frac{1}{\epsilon^{2}} [/mm]

E(X) = 25 habe ich berechnet und X [mm] \le [/mm] 15 ist vorgegeben.

Wie gehe ich nun weiter vor?

Inwiefern setze ich in die Ungl. das X ein und wie wähle ich ein geeignetes [mm] \epsilon [/mm] ?

        
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Mo 01.02.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:16 Mo 01.02.2010
Autor: ullim

Hi,

Ein paar Dinge sind mir unklar

> Es ist X ~ B(100,50,50) (k = 0,1,..50)
>  

1. Was meinst Du mit B(100,50,50)?


>  Laut der Chebyshev Ungleichung heißt es
>  
> P(|X-EX| [mm]\le \epsilon) \le \frac{1}{\epsilon^{2}}[/mm]
>  

2. Müsste das hier nicht heissen [mm] P(|X-EX|<\epsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} [/mm]


mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Mo 01.02.2010
Autor: pojo

X ~ ist Binomialverteilt mit den Parametern 100,50,50.

Und ja, sorry, die Zeichen sind falsch rum..

Bezug
                        
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Mo 01.02.2010
Autor: ullim

Hi Pojo,

ich versteh noch immer nicht ganz. Für mich hat die Binomialverteilung zwei Parameter, die Anzahl der Versuche n und die Eintrittswahrscheinlichkeit für ein Ereignis p. Was bedeutet der dritte Parameter und was ist welcher Parameter in Deiner schreibweise.

Bei der von Dir angegebenen Ungleichung fehlt auch noch der [mm] \sigma [/mm] Parameter.

mfg ullim

Bezug
                                
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mo 01.02.2010
Autor: pojo

Ich war in Gedanken wohl ganz woanders, natürlich meine ich die hypergeom. Verteilung! :-I

Bezug
                                        
Bezug
Chebyshev Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Mo 01.02.2010
Autor: ullim

Hi,

also mir ist es nicht gelungen den Nachweis über die Tschebyschow-Ungleichung zu erbringen, aber fast.

Die Tschebyschow-Ungleichung lautet

[mm] P(|X-EX|\ge\epsilon)\le\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} [/mm]

Der Mittelwert berechnet sich so, wie Du es gemacht hast zu 25 und die Varianz berechnet sich zu

[mm] \sigma^2=n*\bruch{M}{N}\left(1-\bruch{M}{N}\right)\bruch{N-n}{N-1} [/mm] und das ergibt [mm] \sigma^2=\bruch{25^2}{99} [/mm]

Die Tschebyschow-Ungleichung kann man auch so schreiben

[mm] P(X\le{EX}-\epsilon)+P(X\ge{EX}+\epsilon)\le\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} [/mm]

Wählt man [mm] \epsilon=10 \Rightarrow [/mm]

[mm] P(X\le{15})+P(X\ge{35})\le\bruch{25^2}{99*100} [/mm] und daraus

[mm] P(X\le{15})\le\bruch{25^2}{99*100} [/mm]

Die rechte Seite ist jetzt dummerweise etwas gößer als [mm] \bruch{1}{16}. [/mm] Wäre die Varianz aber

[mm] \sigma^2=n*\bruch{M}{N}\left(1-\bruch{M}{N}\right)\bruch{N-n}{N} [/mm] würde [mm] \sigma^2=\bruch{25^2}{100} [/mm] gelten und

[mm] P(X\le{15})\le\bruch{25^2}{100*100}=\bruch{1}{16} [/mm] folgen.

Der Unterschied ist also in der Varianz Berechnung des Letzten Nenners, N-1 anstatt N. Was besseres ist mir nicht eingefallen. Vielleicht ist aber auch die Aufgabenstellung falsch.

Natürlich gilt aber [mm] P(X\le15)\le\bruch{1}{16} [/mm] wenn man die hypergeometrische Verteilung direkt benutzt.

[mm] P(X\le15)=0.00006034 [/mm]

Die Tschebyschow-Ungleichung schätzt eben nur sehr grob ab.

Ich hoffe es hilft obwohl der Beweis nicht erbracht wurde.

mfg ullim


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