Chi²-Verteilung, Tschebyscheff < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 31.12.2011 | | Autor: | jolli1 |
| Aufgabe | Xi, i=1..n=100 sind unabhängig [mm] χ_((50))^2- [/mm] verteilte Zufallsvariablen. Betrachten Sie den Mittelwert dieser ZV, dh betrachten Sie X ̅=1/n ∑▒Xi
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X ̅
b) Bestimmen sie mithilfe der Ungleichung von Tschebyscheff eine Untergrenze für P(48<X ̅<52)
c) Bestimmen Sie eine auf dem Zentralen Grenzwertsatz basierende Approximation für P(siehe oben). Welche Voraussetzungen müssen für diese Approx gegeben sein? Sind diese erfüllt? Vergleiche Ergebnis mit dem aus b) |
Hey ihr Lieben,
ich bin total verwirrt mit der Chi²-Verteiltung.
meine Ideen:
a)
E(X ̅=1/n ∑▒Xi)= 1/n ∑E(Xi)= 1/n x n x n = n= 50
Var(X ̅)= 1/(n²) x n x 2n= 2 ???? aber das trifft doch für eine Chi²-Verteilung gar nicht zu? Die Var müsste doch 2n sein, oder???
b)P(48<X ̅<52)= P(-2<X ̅-50<2)= [mm] P(|X-50|<2)\ge [/mm] 1- [mm] \bruch{2}{4}= [/mm] 0.5
c) Ich weiß, dass man für n> 30 die Normalverteilungsapprox benutzt mit: [mm] q_p=0.5(z_p+√(2n-1))² [/mm] Doch wie wende ich das auf die Aufgabenstellung an? Ich komme nicht weiter.
Wäre echt toll, wenn Ihr mich zu obigen Aufgaben verbessern könntet. für den Fall, dass ich bei einer Aufgabe eine korrekte Lösung habe, wäre es schön, wenn ihr evtl dazu schreiben könntet, was noch fehlt.
Vielen herzlichen Dank und einen tollen Abend wünsche ich euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 01.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
der Erwartungswert und die Varianz eines arithmetischen Mittels [mm] $\bar [/mm] X$
von $n_$ unabhaengigen und identisch verteilten Zufallsvariablen
[mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] berechnet man immer so:
[mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\operatorname{E}[X_1]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\operatorname{var}[X_1]/n$.
[/mm]
Jetzt musst du noch klaeren, was hier [mm] $\operatorname{E}[X_1]$ [/mm] und
[mm] $\operatorname{Var}[X_1]$ [/mm] ist. Du bist auf dem richtigen Weg, wenn du [mm] $\operatorname{E}[\bar [/mm] X]=50$
und [mm] $\operatorname{Var}[\bar [/mm] X]=1$ nachvollziehen kannst.
(Vielleicht unterstellst du ja irrtuemlich,
dass [mm] $\bar [/mm] X$ Chi-Quadrat-verteilt ist.)
Arbeite bei b) mit den korrigierten Werten.
Behandle bei c) [mm] $\bar [/mm] X$ so, als waere es *exakt* normalverteilt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 01.01.2012 | | Autor: | jolli1 |
vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.
Also bei der Chi²-Verteilung steht dick und fett in der Formelsammlung: X1...Xn sind unabhängige und identisch N(0,1)-verteilte Zufallsvariablen.
Müsste ich dann für den Erwartungswert von X1 nicht 0 wählen?
Und für die Var(x1)/n käme ja 1/n raus oder??
Ich komm echt nicht mehr drauf.
Ich dachte immer, für E(X1) würde man dann den Erwartungswert E(Z) der Chi²-Verteilung einsetzten und das gleiche würde auch für die Varianz gelten.
Dann wäre demnach E(X) tatsächlich = n=50, aber Var(X1)/n wäre ja 2n/n = 2 und nicht 1?
Wäre echt um jede Hilfe dankbar
vielen lieben Dank schonmal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 01.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.
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> Also bei der Chi²-Verteilung steht dick und fett in der
> Formelsammlung: X1...Xn sind unabhängige und identisch
> N(0,1)-verteilte Zufallsvariablen.
>
Aber in der Aufgabenstellung steht doch anscheinend:
[mm] $X_1,\dots,X_{100}$ [/mm] sind [mm] $\chi^2(50)$-verteilt, [/mm] oder?
Du hast insofern recht, als dass jedes [mm] $X_i$ [/mm] somit als Summe der
Quadrate von 50 unabhaengigen standardnormalverteilten
Zufallsvariablen aufgefasst werden kann.
vg Luis
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