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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Cholesky-Zerlegung
Cholesky-Zerlegung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cholesky-Zerlegung: Rückfrage / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mo 22.06.2009
Autor: GreatBritain

Aufgabe
Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegungen der Matrizen:
$$A = [mm] \pmat{1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1} ~\text{und}~ [/mm] B = [mm] \pmat{4&2&4\\2&2&3\\4&3&6}$$ [/mm]

hi
also, bei Matrix A ist meiner Meinung nach gar keine Cholesky-Zerlegung möglich: $det(A) = 0$, damit ist A nicht positiv definit, und das ist ja die Voraussetzung für eine Cholesky-Zerlegung - richtig?

zur B:
ich habe hier eine LR-Zerlegung gemacht, die laut Maple auch richtig ist:

$$B = LR = [mm] \pmat{1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\1&1&1} \cdot \pmat{4&2&4\\0&1&1\\0&0&1}$$ [/mm]

Erstmal vorweg die Frage: über die LR-Zerlegung finde ich doch die Matrix L, die ich für die Cholesky-Zerlegung $B = [mm] L\cdot L^t$ [/mm] benötige - oder?

Mein Problem ist nun: Rechne ich zur Kontrolle $L [mm] \cdot L^t$ [/mm] aus, erhalte ich nicht wie gewünscht $B$, sondern

[mm] $$L\cdot L^t [/mm] = [mm] \pmat{1&\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&\frac{5}{4}&\frac{3}{2}\\1&\frac{3}{2}&3}$$ [/mm]

Zum Teil Viertel, zum Teil Halbe, zum Teil irgendwas meiner Einträge der Matrix B...

Was mache ich bei der Cholesky-Zerlegung falsch...?

Danke & Gruß, GB

        
Bezug
Cholesky-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Mo 22.06.2009
Autor: MathePower

Hallo GreatBritain,

> Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegungen der Matrizen:
>  [mm]A = \pmat{1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1} ~\text{und}~ B = \pmat{4&2&4\\2&2&3\\4&3&6}[/mm]
>  
> hi
>  also, bei Matrix A ist meiner Meinung nach gar keine
> Cholesky-Zerlegung möglich: [mm]det(A) = 0[/mm], damit ist A nicht
> positiv definit, und das ist ja die Voraussetzung für eine
> Cholesky-Zerlegung - richtig?


Trotzdem kann es eine Cholesky-Zerlegung der Matrix A geben.


>  
> zur B:
>  ich habe hier eine LR-Zerlegung gemacht, die laut Maple
> auch richtig ist:
>  
> [mm]B = LR = \pmat{1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\1&1&1} \cdot \pmat{4&2&4\\0&1&1\\0&0&1}[/mm]
>  
> Erstmal vorweg die Frage: über die LR-Zerlegung finde ich
> doch die Matrix L, die ich für die Cholesky-Zerlegung [mm]B = L\cdot L^t[/mm]
> benötige - oder?


L und R müssen doch noch entsprechend modifiziert werden.

Die Matrizen L und R können somit nur als Basis
für die Chloesky-Zerlegung dienen.


>  
> Mein Problem ist nun: Rechne ich zur Kontrolle [mm]L \cdot L^t[/mm]
> aus, erhalte ich nicht wie gewünscht [mm]B[/mm], sondern
>  
> [mm]L\cdot L^t = \pmat{1&\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&\frac{5}{4}&\frac{3}{2}\\1&\frac{3}{2}&3}[/mm]
>  
> Zum Teil Viertel, zum Teil Halbe, zum Teil irgendwas meiner
> Einträge der Matrix B...
>  
> Was mache ich bei der Cholesky-Zerlegung falsch...?


Betrachte, die 1. Spalte von L bzw. die 1. Zeile von R.

Dann fällt auf, daß [mm]\pmat{4 & 2 & 4}=4*\pmat{1 \\ 2 \\ 1}^{t}[/mm]


>  
> Danke & Gruß, GB


Gruß
MathePower

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