C^k-Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] $f\colon\IR^m\longrightarrow\IR$ [/mm] eine [mm] $C^k$-Funktion. [/mm] Dann ist auch [mm] $g(u)=\int_0^1 [/mm] f(tu)dt$ eine [mm] $C^k$-Funktion. [/mm] |
Hallo,
wenn man Analysis kann, ist das sicherlich offensichtlich. Für mich aber nicht. Kann mir jemand sagen, wieso das gilt?
Liebe Grüße,
UniverselesObjekt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Di 11.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f\colon\IR^m\longrightarrow\IR[/mm] eine [mm]C^k[/mm]-Funktion. Dann
> ist auch [mm]g(u)=\int_0^1 f(tu)dt[/mm] eine [mm]C^k[/mm]-Funktion.
>
> Hallo,
>
> wenn man Analysis kann, ist das sicherlich offensichtlich.
> Für mich aber nicht. Kann mir jemand sagen, wieso das
> gilt?
Google mal nach "Parameterintegral". Dann siehst Du, dass z.B. gilt
(*) [mm] \bruch{\partial g}{\partial u_j}(u)=\int_0^1 \bruch{\partial }{\partial u_j}[f(tu)]dt.
[/mm]
Partielle Differentiation und Integration dürfen also vertauscht werden.
Aus (*) sieht man: g ist stetig differenzierbar. Den Rest erledigt man induktiv.
>
> Liebe Grüße,
> UniverselesObjekt
|
|
|
| |
|
Ah, vielen Dank!
Und [mm] $\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)]$ [/mm] ist [mm] $t\cdot\frac{\partial f}{\partial u_i}(tu)$, [/mm] oder? Deshalb ist [mm] $t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)]$ [/mm] stetig und das Integral hinschreibbar. Aber ich sehe für beide Darstellungen nicht sofort den Induktionsschritt. Tut mir Leid, falls ich mich echt dämlich anstelle.
Ist diese Formel (*) denn ganz leicht einzusehen, oder ist das ein richtiger Satz, den man in Analysis lernt?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Di 11.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ah, vielen Dank!
>
> Und [mm]\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] ist
> [mm]t\cdot\frac{\partial f}{\partial u_i}(tu)[/mm], oder?
Ja.
> Deshalb
> ist [mm]t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] stetig
> und das Integral hinschreibbar.
Hinschreiben kann man viel ... Für jedes $u [mm] \in \IR^m$ [/mm] hängt [mm] \frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)] [/mm] stetig von $t$ ab, somit ist [mm]t\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] integrierbar über $[0,1]$.
> Aber ich sehe für beide
> Darstellungen nicht sofort den Induktionsschritt. Tut mir
> Leid, falls ich mich echt dämlich anstelle.
Ist z.B. $f$ eine [mm] C^2 [/mm] - Funktion, so ist, für jedes feste $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ die Funktion [mm]u\longmapsto\frac{\partial}{\partial u_i}[f(tu)][/mm] aus der Klasse [mm] C^1. [/mm] Somit kannst Du die Funktion
[mm] $u\longmapsto \int_0^1 \bruch{\partial }{\partial u_j}[f(tu)]dt$
[/mm]
wieder partiell differenzieren, z.B. nach [mm] u_k. [/mm] Heraus kommt:
[mm] \int_0^1 \bruch{\partial^2 }{\partial u_k \partial u_j}[f(tu)]dt
[/mm]
und die ist gerade [mm] \bruch{\partial^2 g }{\partial u_k \partial u_j}. [/mm] Da $f$ eine [mm] C^2 [/mm] - Funktion ist, ist auch g 2-mal stetig differenzierbar, .... etc.
>
> Ist diese Formel (*) denn ganz leicht einzusehen, oder ist
> das ein richtiger Satz, den man in Analysis lernt?
Falsch ist der Satz nicht. Spass beiseite: das ist ein Satz den man in der Analysis lernt.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Danke. Jetzt kann ich wieder Algebra machen^^
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
