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Hallo, Ich habe ein paar Verständnissprobleme mit der Cofiniten Topologie.
Die Def hier im Buch(B.v. Querenburg 2. Auflage) lautet: "X sei eine nicht endliche Menge. Q sei die Familie der Mengen, die aus [mm] \emptyset [/mm] und allen Komplementen von endlichen Mengen besteht." Sieht das dann so aus?
Q:={O [mm] \subseteq [/mm] X | X [mm] \backslash [/mm] O endlich} [mm] \cup [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] }
Weiter steht ein Beispiel da. "X sei nicht endlich und trage die cofinite Topologie und es sei A [mm] \subseteq [/mm] X. Ist A eine endliche Menge, so gilt int(A) = [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \overline{A} [/mm] = A ...." Kann man davon ausgehn, dass A eine abegeschlossene Menge ist also das gilt X [mm] \backslash [/mm] O = A. Deshalb X [mm] \backslash [/mm] A = O und allgemein ist int(M) = [mm] \bigcup_{O \subset M} O_{i} [/mm] wobei [mm] O_{i} \in [/mm] Q. Also int(A) = [mm] \bigcup_{O \subset A} [/mm] X [mm] \backslash [/mm] A aber da es keine Teilmenge von A gibt die in X [mm] \backslash [/mm] A wären muss int(a) = [mm] \emptyset [/mm] sein. Ist das so korrekt? Ich bin mir da immer sehr unsicher...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Di 06.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Ich habe ein paar Verständnissprobleme mit der
> Cofiniten Topologie.
> Die Def hier im Buch(B.v. Querenburg 2. Auflage) lautet:
> "X sei eine nicht endliche Menge. Q sei die Familie der
> Mengen, die aus [mm]\emptyset[/mm] und allen Komplementen von
> endlichen Mengen besteht." Sieht das dann so aus?
> [mm]Q:=\{O \subseteq X \mid X \backslash O \text{ endlich}\} \cup\{ \emptyset\}[/mm]
> Weiter steht ein Beispiel da. "X sei nicht endlich und
> trage die cofinite Topologie und es sei A [mm]\subseteq[/mm] X. Ist
> A eine endliche Menge, so gilt int(A) = [mm]\emptyset[/mm] ,
> [mm]\overline{A} = A[/mm] ...." Kann man davon ausgehn, dass A eine
> abegeschlossene Menge ist also das gilt X [mm]\backslash O = A[/mm].
> Deshalb [mm]X \backslash A = O [/mm]und allgemein ist int(M) =
> [mm]\bigcup_{O \subset M} O_{i}[/mm] wobei [mm]O_{i} \in[/mm] Q. Also int(A)
> = [mm]\bigcup_{O \subset A}[/mm] X [mm]\backslash[/mm] A aber da es keine
> Teilmenge von A gibt die in X [mm]\backslash[/mm] A wären muss
> int(a) = [mm]\emptyset[/mm] sein. Ist das so korrekt? Ich bin mir da
> immer sehr unsicher...
Ich würde das einfacher sagen: alle offenen Mengen (Elemente von Q) außer [mm] $\emptyset$ [/mm] sind unendliche Mengen. Da $int(A)$ eine offene Teilmenge von A ist und daher nur endlich viele Elemente enthält, muss [mm] $int(A)=\emptyset$ [/mm] sein.
Weiter ist das Komplement von A eine offene Menge (Element von Q), also ist A abgeschlossen.
Viele Grüße
Rainer
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