Collatz-Problem < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 25.01.2008 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Das Collatz-Problem beschäftigt sich damit, ob die Iteration
[mm] a_{n+1}=\begin{cases} \bruch{1}{2}a_{n}, & \mbox{für } a_{n} \mbox{ gerade} \\ 3a_{n}+1, & \mbox{für } a_{n} \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
immer mit [mm] a_{n}=1 [/mm] endet.
Das kleinste n mit dieser Eigenschaft heißt Collatzlänge.
1) Für welche Startwerte m lässt sich dies beweisen?
2) Welches m [mm] \in [/mm] {2,...,1000} hat die größte Collatzlänge?
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Hallo zusammen,
Habe leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich an dieses Problem rangehen soll. Naja doch: Ich weiß, dass es bei 1) irgendwas mit den [mm] 2^n [/mm] Zahlen zu tun hat. Warum, und wie man drauf kommt, oder gar es beweist ist mir völlig unklar.
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Liebe Grüße,
sie-nuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Fr 25.01.2008 | | Autor: | abakus |
Bau doch die Folge in einer Art Baumdiagramm "vom Ende her" auf.
1
2
4
8 oder 1 (entfällt, weil hier schon das Ende wäre)
16
32 oder 5
64 oder 10
128 oder (20 oder 3)
256 oder 85 oder 40 oder 6 ...
Vielleicht findest du ein paar Gesetzmäßigkeiten...
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Zu 1) Sicherlich gilt für alle [mm] $a_n=2^n$, [/mm] dass sie bei Eins enden, denn sie können genau $n$-mal durch zwei geteilt werden, bis sie bei eins enden. Ebenso gilt für einige Zahlen der Form $3n+1$, dass sie eine Teilmenge der Menge [mm] $\{2^n\}_{n\in\IN}$ [/mm] sind.
Zu 2) Du kannst dann nur die Zahlen betrachten, für die du es bewiesen hast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 29.01.2008 | | Autor: | sie-nuss |
..ah! ok super, das hilft mir schon sehr weiter!
Danke für die Hilfe,
sie-nuss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mathmark |
Bitte
Sie Nuss
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