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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Di 26.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Es geht hier um eine Zwischenbehauptung. In der ganzen Aufgabe ist zu zeigen, dass cos im Intervall I=[0,2[ genau eine Nullstelle [mm] x_0=\pi/2 [/mm] besitzt. Dabei ist diese Beh. die erste Zwischenbehauptung.
Beh.: cos(2) [mm] \le -\bruch{1}{3}.
[/mm]
Hallo.
Hier muss man die Reihendarstellung des Cosinus verwenden.
cos(x) = [mm] \summe_{k=0}^{N} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] + [mm] r_{2N+2}(x)
[/mm]
mit [mm] |r_{2N+2}(x)| \le \bruch{|x|^{2N+2}}{(2N+2)!} [/mm] für |x|< 2N+3.
Meine Frage nun: Für x setze ich in diese Darstellung 2 ein, aber welchen Wert muss ich für N nehmen? In meiner Lösung wird N=1 gewählt. Woher weiß ich, dass ich N=1 wählen muss? Kommt das auf die Bedingung für |x| an? Für N=0 wäre 2<3, also die Bedingung auch erfüllt, genau so wie für N=2... Oder muss ich einfach ausprobieren, für welches N die gesuchte Näherung rauskommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mi 27.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Hallo.
Gibts hier keine Hinweise? Oder hab ich die Frage unverständlich formuliert oder so?
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Hallo,
so ganz sehe ich zwar in deiner Aufgabenstellung nicht durch, aber ich nehme an, dass es darum geht, welcher Art die Funktion ist, die durch die Taylor-Reihe heraus kommt.
Setzt du N=0 erhältst du eine lineare Funktion. Die kann nur eine Nullstelle haben. Somit ist damit nicht nachweisbar, dass nur eine existiert und nicht noch mehr. Für N=1 hat man schon eine quadratische Funktion, die zwei Nullstellen hat. Liegt aber nur eine davon im Intervall, so ist es klar, dass [mm] \cos(x) [/mm] auch nur eine Nullstelle hat.
Hoffe, dass das die Frage beantwortet.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 27.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Ja,jetzt ist's mir schon klarer. Man muss einfach probieren bis man auf eine sinnvolle Lösung kommt, die einen weiterbringt.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pi-roland |
Hallo nochmal,
es hat weniger was mit probieren als mit denken zu tun. Wenn in einem Intervall 3 Nullstellen sein sollen, dann sollte man schon die Näherung (also die Taylor-Reihe) so machen, dass sie 4. Grades ist und damit 4 Nullstellen hat. Wenn nun nur 3 drin liegen, dann kann man sich recht sicher sein, dass das auch bei der originalen (nicht genäherten) Funktion der Fall ist.
Im Großen und Ganzen keine Hexerei.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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