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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:27 So 19.04.2009 | | Autor: | pathethic |
| Aufgabe | Leiten Sie die Werte der Cosinusfunktion fur die Winkel [mm] \frac{\pi}{6} [/mm] , [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] und [mm] \frac{\pi}{3} [/mm] mit Ihren Kenntnissen
aus der Dreiecksgeometrie her. |
Okay, hier schonmal soweit meine Lösung. Leider denke ich sie ist falsch, weil ich komme nicht ganz genau auf diesselben Werte wenn ich mit meinem Taschenrechner nachrechne:
Die Berechnung des Wertes der Cosinusfunktion erfolgt über dem Satz des Pythagoras [mm] $a^2+b^2=c^2$. [/mm] Die Hypothenuse ist gemäß des Einheitskreis $1$. Für die Kathete entlang der x-Achse ist der Wert $a = [mm] \frac{\pi}{6}$, [/mm] so dass wir das fehlende $b$ suchen: $b = [mm] \sqrt{c^2-a^2}$
[/mm]
$b = [mm] \sqrt{1^2- {\bigg(\frac{\pi}{6}\bigg)}^2}\\$
[/mm]
$b & [mm] \approx [/mm] 0,852$
Nun rechnen wir das ganze noch in Gradmaß um:
$0,852 [mm] \cdot \frac{360}{2\pi} [/mm] = 48,81°$
Auf diese Art und Weise erhalten wir dann auch die restlichen Werte.
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Hallo!
Das ist leider völlig falsch.
Um das an deiner Skizze zu erklären: Die Maßzahl des Winkels gibt die Länge des Bogenstücks an, das die positive x-Achse mit deiner Hypothenuse aus dem Kreis schneidet. Und das ist was anderes als die Länge der senkrechten Kathete.
Oder mal als Rechnung: [mm] \alpha=\frac{\pi}{2}
[/mm]
$ b = [mm] \sqrt{1^2- {\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)}^2}=\sqrt{\red{-}1,46} [/mm] $
Viel mehr handelt es sich bei den angegebenen Winkeln um ganz spezielle Winkel, für die man exakte COS-Werte angeben kann.
Du solltest dir mal überlegen, was es für spezielle Dreiecke gibt, bei denen diese Winkel auftauchen. Beispielsweise könnte [mm] \pi/3\hat{=}60° [/mm] doch zu einem gleichseitigen Dreieck gehören. Das heißt, alle Seiten und alle Winkel sind gleich groß. Mit ein paar Überlegungen und Pythagoras kommst du dann auf exakt(!) [mm] \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}
[/mm]
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Okay, da wir ja beim Kosinus nur rechtwinklige Dreiecke angucken, kann ich davon ausgehen, das alle Winkel zusammen immer 180° betragen.
Das heißt bei meinem [mm] \frac{\pi}{6} \cdot \frac{360}{2\pi} [/mm] = 30°
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 30° [mm] \beta [/mm] = 50° und [mm] \gamma [/mm] = 90°
Persönlich fällt mir zu weiteren Bestimmung dann nur der Sinussatz ein:
[mm] \frac{1}{sin(50°)} [/mm] = [mm] \frac{a}{sin(30°)} [/mm] ... und dann umstellen, aber das wird denke ich mal nicht gemeint sein oder? Im Pythagoras finde ich keine weitere Anwendungen für meine gefundenen Winkel :(
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Hallo, für den Fall 60 Grad möchte ich dir mal die folgende Skizze geben, der Cosinus von 60 Grad entspricht der roten Strecke [mm] \overline{EC} [/mm] bzw. [mm] \overline{AD} [/mm] überlege, was kennst du im Dreieck ABC,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich weiß das [mm] \overline{AB} [/mm] = 2 [mm] \cdot \overline{EC} [/mm] ist? Was wiederrum die Strecke für alle Seiten des Dreiecks ist weil es überall diesselben Winkel hat, die wiederrumd as Verhältnis zwischen den Seiten wiederspiegelt?
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Hallo, bedenke, du bist im Einheitskreis, also ist [mm] \overline{AB}= [/mm] ... und somit [mm] \overline{EC}= [/mm] ..., Steffi
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Achja, hab ich ja völlig vergessen. [mm] \overline{AB} [/mm] = 1 und [mm] \overline{EC} [/mm] = 0.5
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo pathetic!
> Achja, hab ich ja völlig vergessen. [mm]\overline{AB}[/mm] = 1 und [mm]\overline{EC}[/mm] = 0.5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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Nur muss ich leider sagen, dass ich keinerlei paralellen zu meinem Problem ziehen kann. Weil ich einfach keine anderen Werte oder Beziehung in meinem rechtwinklingen Dreieck finde.
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Hallo!
Ich denke, du solltest den ganzen Kram mit dem Einheitskreis vergessen, und das mit einfachen geometischen Überlegungen ohne Koordinatensysteme lösen.
Wie bereits beschrieben, solltest du dir bei den 60° mal ein gleichseitiges Dreieck anschauen. Die Höhe des Dreiecks läßt sich mit Pythagoras berechnen und gleichzeitig mit cos(60°) .
Findest du an deiner Zeichnung anschließend auch 30° und kannst du daraus den Wert von cos(30°) bestimmen?
Und was kennst du für Dreiecke, bei denen ein Winkel 45° ist? Gibts da spezielle drunter?
Übrigens, die Summe aller Winkel ist in jedem Dreieck 180°.()
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