Coulombfeld Quellenfrei? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 05.03.2011 | | Autor: | kappen |
Hi Leute, bin gerade auf eine komische Geschichte gestoßen.
Ich wollte ein Vektorfeld, dessen Normalenvektor in die selbe Richtung wie bei einer Kugel über eine Kugeloberfläche berechnen. Per Flussintegral funktioniert das problemlos, da braucht man ja kaum rechnen, da sich die Einheitsvektoren zu 1 ergeben und ich quasi nur noch die Oberfläche der Kugel hinschreiben muss.
Aber wenn ich Gauß anwenden will, kommt 0 raus, da die Divergenz meines Feldes=0 war.
Dann ist mir aufgefallen, dass das beim ganz normalen Coulombfeld auch so ist: [mm] \vec{v}=Konstante*\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}
[/mm]
Was ist denn hier jetzt los? Das Coulomb Feld ist doch nie im Leben quellenfrei, oder?
Wieso kann ich hier kein Gauß benutzen? Muss das Feld dafür überall in meinem Gebiet definiert sein? [mm] (\vec{v} [/mm] ist ja in [mm] \vec{0} [/mm] nicht definiert..)
Aber am meisten irritiert mich jetzt, dass das Coulombfeld quellenfrei sein soll, das Wiederspricht doch irgendwie allem.. Einzelelne Ladungen, nicht geschlossene Feldlinien..
Danke für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 05.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Leute, bin gerade auf eine komische Geschichte
> gestoßen.
>
> Ich wollte ein Vektorfeld, dessen Normalenvektor in die
> selbe Richtung wie bei einer Kugel über eine
> Kugeloberfläche berechnen. Per Flussintegral funktioniert
> das problemlos, da braucht man ja kaum rechnen, da sich die
> Einheitsvektoren zu 1 ergeben und ich quasi nur noch die
> Oberfläche der Kugel hinschreiben muss.
>
> Aber wenn ich Gauß anwenden will, kommt 0 raus, da die
> Divergenz meines Feldes=0 war.
>
> Dann ist mir aufgefallen, dass das beim ganz normalen
> Coulombfeld auch so ist:
> [mm]\vec{v}=Konstante*\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}[/mm]
> Was ist denn hier jetzt los? Das Coulomb Feld ist doch nie
> im Leben quellenfrei, oder?
Nein. Aber die Quelle ist punktförmig; das Coulombfeld divergiert im Ursprung.
> Wieso kann ich hier kein Gauß benutzen? Muss das Feld
> dafür überall in meinem Gebiet definiert sein? [mm](\vec{v}[/mm]
> ist ja in [mm]\vec{0}[/mm] nicht definiert..)
Das ist genau der Punkt: Für den Satz von Gauß muss das Feld im gesamten Volumen definiert sein.
> Aber am meisten irritiert mich jetzt, dass das Coulombfeld
> quellenfrei sein soll, das Wiederspricht doch irgendwie
> allem.. Einzelelne Ladungen, nicht geschlossene
> Feldlinien..
Überall dort, wo keine Ladungen im Raum sind, ist die Divergenz Feldes 0. Beim Coulombfeld ist die gesamte Ladung in einem Raumpunkt konzentriert, deswegen ist die Divergenz überall 0, außer in diesem einen Punkt, wo sie im strengen mathematischen Sinn undefiniert ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 06.03.2011 | | Autor: | kappen |
Ah okay :)
Aber ist ja interessant, die Physiker wenden doch dauerhauft den Satz von Gauß bei dem radialen Feld an, indem sie eine Kugel drum legen, oder?
Und woher weiß ich, dass das Feld überall im Gebiet definiert sein muss?
Z.B. hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz , womit wird das hier gesagt?
Und was wäre, wenn der Punkt [mm] \vec{0} [/mm] auch aus der Kugel rausgenommen würde, funktioniert das ganze dann wieder?
Danke, dass du dir die Zeit nimmst :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 06.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah okay :)
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> Aber ist ja interessant, die Physiker wenden doch
> dauerhauft den Satz von Gauß bei dem radialen Feld an,
> indem sie eine Kugel drum legen, oder?
Ja. Entweder benutzen sie die Tatsache, dass das Oberflächenintegral über das Feld gleich der eingeschlossenen Ladung ist, oder sie wenden den Satz von Gauß im Rahmen der Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionen) an, in der du die Ladungsverteilung einer Punktladung mit Hilfe der [mm] $\delta$-Distribution [/mm] beschreibst.
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> Und woher weiß ich, dass das Feld überall im Gebiet
> definiert sein muss?
> Z.B. hier :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz ,
> womit wird das hier gesagt?
Leider nicht explizit; aber wie willst du den Satz von Gauß formulieren, wenn das Integral auf der linken Seite undefiniert ist? (Die mathematischen Seiten in der deutschen Wikipedia sind häufig etwas unpräzise. Ist halt kein Lehrbuch; du solltest den Details nicht allzusehr vertrauen.)
Wenn du ![[]](/images/popup.gif) in der englischen Version schaust, findest du es explizit.
> Und was wäre, wenn der Punkt [mm]\vec{0}[/mm] auch aus der Kugel
> rausgenommen würde, funktioniert das ganze dann wieder?
Der Satz von Gauß gilt genauso, nur hat dann die Oberfläche des Volumens zwei disjunkte Teile: innen um den Nullpunkt und außen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Do 17.03.2011 | | Autor: | kappen |
Alles klar, danke Rainer :)
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