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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 26.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich konnte hier eine Aufgabe ansatzweise lösen, leider komme ich aber (auch hier) nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen:
Aufgabe: Gegeben sei das Gleichungssystem Ax = b mit
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \beta \\ \beta & 2 & 0 } [/mm] und
b = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm] und [mm] \beta \in \IZ.
[/mm]
(a) Für welche Werte von [mm] \beta [/mm] ist das Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel lösbar (mit x [mm] \in \IR^{3})?
[/mm]
(b) Man bestimme den Lösungsvektor x mit der Cramerschen Regen für die erlaubten Werte von [mm] \beta.
[/mm]
(c) Was passiert in den ini (a) ausgeschlossenen Fällen? Man bestimme gegebenenfallls die Dimension des Lösungsraumes.
Definition von Cramerschen Regel:
A [mm] \in K^{n,n}, [/mm] b [mm] \in [/mm] K, x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in K^{n} [/mm] mit Ax=b.
Dann gilt: [mm] x_{i} [/mm] det (A) = det [mm] (A_{i})
[/mm]
wobei [mm] A_{i} [/mm] aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch b entsteht.
So bin ich vorgegangen:
(a) Ich hab die Determinante von A ausgerechnet, die wie folgt lautet:
det (A) = [mm] 2\beta (\beta [/mm] - 2)
Dann habe ich det [mm] (A_{1}) [/mm] ausgerechnet. det [mm] (A_{1}) [/mm] = 0.
Also:
[mm] x_{1} [/mm] det (A) = det [mm] (A_{1}) [/mm]
[mm] x_{1} 2\beta (\beta [/mm] - 2) = 0
Also ist [mm] \beta [/mm] = 0 oder [mm] \beta [/mm] = 2.
Das gleiche habe ich für i=2 gemacht, wobei das selbe herauskommt wie bei i=1.
Bei i=3 kommt allerdings für det [mm] (A_{3}) [/mm] = [mm] 2\beta (\beta [/mm] - 2) heraus.
Also:
[mm] x_{3} [/mm] det (A) = det [mm] (A_{3}) [/mm]
[mm] x_{3} 2\beta (\beta [/mm] - 2) = [mm] 2\beta (\beta [/mm] - 2)
[mm] x_{3} \beta [/mm] = 1
[mm] \beta [/mm] = [mm] 1-x_{3}.
[/mm]
Also ist [mm] \beta [/mm] = 0 oder [mm] \beta [/mm] = 2 oder [mm] \beta [/mm] = [mm] 1-x_{3}.
[/mm]
Ist das so richtig?
(b) Was heißt hier "für die erlaubten Werte von [mm] \beta"? [/mm] Sind das die Werte, die ich in (a) herausbekommen habe?
Was muss ich hier genau machen? Muss ich hier die Werte, die ich für [mm] \beta [/mm] herausbekommen habe, in A einsetzen und x bestimmen?
Wenn ja, dann stimmt bei mir was nicht, wenn ich [mm] \beta=0 [/mm] setze. Ich habe hier ein Widerspruch. Denn einmal kriege ich heraus, dass [mm] x_{2} [/mm] = -2 und einmal [mm] x_{2} [/mm] = 0.
(c) die ausgeschlossenen Fälle, meint man damit alle Fälle, wo [mm] \beta \not= [/mm] 0, -2, [mm] 1-x_{3} [/mm] ist?
Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich überhaupt die (a) richtig habe. Und wenn nicht, bitte ich um Korrektur und einige Tipps, wie ich die (b) sowie die (c) lösen kann.
Vielen Dank für eure Mühe!
VHN
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Hallo,
>
> So bin ich vorgegangen:
> (a) Ich hab die Determinante von A ausgerechnet, die wie
> folgt lautet:
> det (A) = [mm]2\beta (\beta[/mm] - 2)
Richtig.
>
> Dann habe ich det [mm](A_{1})[/mm] ausgerechnet. det [mm](A_{1})[/mm] = 0.
Auch Richtig.
> Also:
> [mm]x_{1}[/mm] det (A) = det [mm](A_{1})[/mm]
> [mm]x_{1} 2\beta (\beta[/mm] - 2) = 0
> Also ist [mm]\beta[/mm] = 0 oder [mm]\beta[/mm] = 2.
>
> Das gleiche habe ich für i=2 gemacht, wobei das selbe
> herauskommt wie bei i=1.
>
> Bei i=3 kommt allerdings für det [mm](A_{3})[/mm] = [mm]2\beta (\beta[/mm] -
> 2) heraus.
> Also:
> [mm]x_{3}[/mm] det (A) = det [mm](A_{3})[/mm]
> [mm]x_{3} 2\beta (\beta[/mm] - 2) = [mm]2\beta (\beta[/mm] - 2)
> [mm]x_{3} \beta[/mm] = 1
> [mm]\beta[/mm] = [mm]1-x_{3}.[/mm]
>
> Also ist [mm]\beta[/mm] = 0 oder [mm]\beta[/mm] = 2 oder [mm]\beta[/mm] = [mm]1-x_{3}.[/mm]
>
> Ist das so richtig?
det[mm](A_{3})[/mm] ist nach meiner Rechnung [mm]2 (\beta[/mm] - 2) .
>
> (b) Was heißt hier "für die erlaubten Werte von [mm]\beta"?[/mm]
> Sind das die Werte, die ich in (a) herausbekommen habe?
Die erlaubten Werte sind diejenigen, für die die Determinante verschieden von 0 ist.
> (c) die ausgeschlossenen Fälle, meint man damit alle Fälle,
> wo [mm]\beta \not=[/mm] 0, -2, [mm]1-x_{3}[/mm] ist?
>
Mit den ausgeschlossenen Fälle sind diejenigen Fälle gemeint, bei denen [mm]\beta \not=[/mm] 0, 2 .
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 01.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Danke für deine Antworten!
Ich habe mich bei der (a) vertippt.
Ich habe für det [mm] A_{3} [/mm] ebenfalls [mm] \beta (\beta [/mm] - 2) rausbekommen.
Also nimmt [mm] \beta [/mm] bei [mm] A_{3} [/mm] den Wert [mm] \bruch{1}{x_{3}} [/mm] an.
[mm] \beta [/mm] kann also 0, 2 oder [mm] \bruch{1}{x_{3}} [/mm] sein.
Ich habe nun versucht, die (b) zu machen.
Hier soll ich ja den Lösungvektor x bestimmen, und zwar für die erlaubten Werte mit Cramer-Regel.
Angenommen, [mm] \beta [/mm] sei nicht 0 oder 2, dann gilt doch:
[mm] x_{1} [/mm] 2 [mm] \beta (\beta [/mm] - 2) = 0 gilt nur, wenn [mm] x_{1} [/mm] = 0 ist.
Das ist also die erste Koordinate von x.
[mm] x_{2} [/mm] 2 [mm] \beta (\beta [/mm] - 2) = 0 gilt nur, wenn [mm] x_{2} [/mm] = 0 ist.
Das ist die zweite Koordinate von x.
Angenommen, [mm] \beta [/mm] sei nicht [mm] \bruch{1}{x_{3}}, [/mm] dann gilt doch:
[mm] x_{3} [/mm] 2 [mm] \beta (\beta [/mm] - 2) = 2 [mm] (\beta [/mm] - 2) gilt nur, wenn [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\beta} [/mm] ist.
Also hat der Lösungsvektor die Form : x = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{\beta}}
[/mm]
Stimmt das alles so, wie ich es gemacht habe? Wenn nicht, bitte ich bitte um Verbesserung und einen Lösungsvorschlag. Danke!
Bei der (c) verstehe ich nicht wirklich, was die Aufgabenstellung von mir will. Die ausgeschlossenen Fälle sind doch die, bei denen [mm] \beta \not= [/mm] 0, 2, [mm] \bruch{1}{x_{3}} [/mm] sind. Was passiert dann aber?
Meiner Meinung heißt das nur, dass es nur diesen einen Lösungsvektor, und zwar den ich oben angegeben habe, gibt.
In dem Fall ist die Dimension des Lösungsraums doch 1, oder?
Könnt ihr mir bitte nochmal erklären, was ich bei der (c) genau untersuchen soll, da ich nicht verstehe, was die von mir wissen wollen.
Viele, vielen Dank!
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Hallo,
> Also hat der Lösungsvektor die Form : x = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{1}{\beta}}[/mm]
Stimmt.
> Bei der (c) verstehe ich nicht wirklich, was die
> Aufgabenstellung von mir will. Die ausgeschlossenen Fälle
> sind doch die, bei denen [mm]\beta \not=[/mm] 0, 2,
> [mm]\bruch{1}{x_{3}}[/mm] sind. Was passiert dann aber?
Dann hat das Gleichungssystem entweder unendlich viele Lösungen oder überhaupt gar keine Lösung.
Das muß untersucht werden. Steht links und rechts beim Gleichungssytem eine 0, so hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
Steht links eine 0 und rechts eine von 0 verschiedene Zahl, so ist das Gleichungssystem unlösbar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
> > Bei der (c) verstehe ich nicht wirklich, was die
> > Aufgabenstellung von mir will. Die ausgeschlossenen Fälle
> > sind doch die, bei denen [mm]\beta \not=[/mm] 0, 2,
> > [mm]\bruch{1}{x_{3}}[/mm] sind. Was passiert dann aber?
>
> Dann hat das Gleichungssystem entweder unendlich viele
> Lösungen oder überhaupt gar keine Lösung.
Aber wenn [mm]\beta=2[/mm] ist, dann ist doch [mm](6, -6, -1)^T[/mm] eine Lösung (und zwar genau eine).
Es es nicht so, dass man mit der Cramer-Regel einfach nur nicht alle Lösungen bestimmen kann? (im Gegensatz zu Gauß)
Gruss, Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Paulus |
> > Hallo,
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> > > Bei der (c) verstehe ich nicht wirklich, was die
> > > Aufgabenstellung von mir will. Die ausgeschlossenen Fälle
> > > sind doch die, bei denen [mm]\beta \not=[/mm] 0, 2,
> > > [mm]\bruch{1}{x_{3}}[/mm] sind. Was passiert dann aber?
> >
> > Dann hat das Gleichungssystem entweder unendlich viele
> > Lösungen oder überhaupt gar keine Lösung.
> Aber wenn [mm]\beta=2[/mm] ist, dann ist doch [mm](6, -6, -1)^T[/mm] eine
> Lösung (und zwar genau eine).
Das stimmt nicht! Zum Beispiel ist [mm] $\vektor{-6\\6\\2}$ [/mm] auch eine Lösung.
Die Aufgabe will, dass du ganz konkret 2 Gleichungssysteme untersuchst, und zwar das eine, wo du für [mm] $\beta$ [/mm] den Wert $0_$ einsetzt, das andere, wo du für [mm] $\beta$ [/mm] den Wert $2$ einsetzt.
Also einmal dieses:
[mm] $\pmat{1&1&0\\1&0&0\\0&2&0}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\2\\0}$
[/mm]
Hier ist die Lösungsmenge leer, die Dimension des Lösungsraumes ist also $0_$.
Und dann auch noch dieses:
[mm] $\pmat{1&1&0\\1&0&4\\2&2&0}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\2\\0}$
[/mm]
Hier erhalte ich mit Gauss:
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2\\-2\\0}+\lambda*\vektor{-4\\4\\1}$
[/mm]
Wenn du willst, dann kannst du das als eine Gerade auffassen und die Dimension $1$ zuordnen.
Du kannst aber auch nach einigen Gauss-Schritten abbrechen (sobald die Lösbarkeit klar ist) und die Dimension angeben mittels "Anzahl der Unbekannten" minus "Anzahl der noch übrig gebliebenen Gleichungen", in unserem Falle $3-2=1$
Mit lieben Grüssen
Paul
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