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| Aufgabe | | [mm] y'=7y-8e^{3x} [/mm] |
Hallo,
wie löse ich diese DGL? Kann mir da vielleicht jemand helfen, denn mit diesen DGL komme ich irgendwie noch nicht so zurecht. Wie erkennt man, von welchem Typ diese DGL ist??
Danke für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die homogene Dgl lösen , y'=7y
dann mit Variation der konstanten oder geschicktem Raten eine spezielle lösung der inhomogeen finden und addieren.
mit deem ansatz [mm] y=A*e^{3x} [/mm] einsetzen A bestimmen, sollte dir der 2 te Teil gelingen.
Gruss leduart
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Hi,
komme da leider nicht ganz weiter.>
> 1. die homogene Dgl lösen , y'=7y
Ok, das müsste in diesen Fall ja einfach y(x)=7xy sein, denn das abgeleitet ergibt ja y'(x)=7y
> dann mit Variation der konstanten oder geschicktem Raten
> eine spezielle lösung der inhomogeen finden und addieren.
> mit deem ansatz [mm]y=A*e^{3x}[/mm] einsetzen A bestimmen, sollte
> dir der 2 te Teil gelingen.
Da komme ich jetzt nicht weiter, wie man das machen kann :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> komme da leider nicht ganz weiter.>
>
> > 1. die homogene Dgl lösen , y'=7y
>
> Ok, das müsste in diesen Fall ja einfach y(x)=7xy sein,
> denn das abgeleitet ergibt ja y'(x)=7y
Nein. Eine Lösung der DGL ist eine Funktion der Variablen x.
Kochrezept: sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Interval und a:I [mm] \to \IR [/mm] stetig. Weiter sei A eine Stammfunktion von a auf I.
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL y'=a(x)y lautet:
[mm] y(x)=Ce^{A(x)}, [/mm] (C [mm] \in \IR)
[/mm]
FRED
>
> > dann mit Variation der konstanten oder geschicktem Raten
> > eine spezielle lösung der inhomogeen finden und addieren.
> > mit deem ansatz [mm]y=A*e^{3x}[/mm] einsetzen A bestimmen,
> sollte
> > dir der 2 te Teil gelingen.
>
> Da komme ich jetzt nicht weiter, wie man das machen kann
> :-/
>
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> Kochrezept: sei I $ [mm] \subset \IR [/mm] $ ein Interval und a:I $ [mm] \to \IR [/mm] $ stetig. Weiter sei A eine Stammfunktion von a auf I.
> Die allgemeine Lösung der homogenen DGL y'=a(x)y lautet:
> $ [mm] y(x)=Ce^{A(x)}, [/mm] $ (C $ [mm] \in \IR) [/mm] $
Aber in y'=7y habe ich doch dieses a(x) aus y'=a(x)y gar nicht, oder?? oder ist es in diesem Fall einfach nur 7, also a(x)=7.
und dann damit A(x)=7x => [mm] y(x)=Ce^{7x}??
[/mm]
und das kann ich dann einfach in meine Ausgangsgleichung einsetzen?
[mm] y'(x)=7*Ce^{7x}-8^{3x}. [/mm] So, und wenn ich das jetzt integriere, komme ich auf
[mm] y(x)=Ce^{7x}-\bruch{8}{3}e^{3x}+C
[/mm]
Ist das so richtig? Ist das meine Löung??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast das Konzept einer Dgl nicht wirklich verstenden.
mit f'(x)=7*f(x) ist eine funktion gesucht, deren Ableitung wieder die funktion ergibt bis auf den Faktor 7
aus deiner kenntnis der Exponentialfkt kannst du deshalb direkt eine solche fkt finden
[mm] y=C*e^{7x} [/mm] erfüllt die Dgl. da bleibt dann nichts mehr zu integrieren!
2,ter Schritt eine spezielle lösung der inhomogenen
Versuch [mm] y=A*e^{3x} [/mm] daraus [mm] y'=3A*e^{3x}
[/mm]
in die Dgl eingesetzt
[mm] 3A*e^{3x}=7*A*e^{3x}+8*e^{3x}
[/mm]
das ist nur richtig für 3A=7A+8
also A=-2
Damit ist dein allgemeine Lösung dann
[mm] y(x)=C*e^{7x}-2*e^{3x}
[/mm]
Wenn man erst anfängt Dgl zu lösen sollte man sich am Ende überzeugen, dass die lösung richtig ist.
also vom endergebnis y' bilden und y' und y in die dgl einsetzen und sehen ob sie erfüllt ist.
Gruss leduart
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Das mit den DGL habe ich tatsächlich noch nicht so richtig verstanden.
Kennst du vielleicht eine Seite, oder ein Skript, wo das ausführlich beschrieben wird? mit vielen Beispielen??
> aus deiner kenntnis der Exponentialfkt kannst du deshalb direkt eine solche fkt finden $ [mm] y=C\cdot{}e^{7x} [/mm] $ erfüllt
ok, das für y'=7y jetzt [mm] y=C\cdot{}e^{7x} [/mm] gilt, habe ich verstanden.
> 2,ter Schritt eine spezielle lösung der inhomogenen
> Versuch $ [mm] y=A\cdot{}e^{3x} [/mm] $ daraus $ [mm] y'=3A\cdot{}e^{3x} [/mm] $ in die Dgl eingesetzt
> $ [mm] 3A\cdot{}e^{3x}=7\cdot{}A\cdot{}e^{3x}+8\cdot{}e^{3x} [/mm] $ das ist nur richtig für 3A=7A+8
> also A=-2
Wo kommt denn nun [mm] y=A\cdot{}e^{3x} [/mm] her?? ich dachte, unser y ist jetzt [mm] y=C\cdot{}e^{7x}?? [/mm] Wo kommt dieses A her?
> [mm] 3A\cdot{}e^{3x}=7\cdot{}A\cdot{}e^{3x}+8\cdot{}e^{3x}
[/mm]
muss es da nicht auch [mm] -8e^{3x} [/mm] heißen??
Irgendwie benutzt du ja dieses [mm] y=C\cdot{}e^{7x} [/mm] gar nicht mehr, oder??
Und wenn ich dein [mm] y(x)=C\cdot{}e^{7x}-2\cdot{}e^{3x} [/mm] jetzt ableite, komme ich auch nicht ganz auf die Ausgangsgl., denn
[mm] y'(x)=7Ce^{7x}-6e^{3x}=7y-6e^{3x}, [/mm] auf die 8 kommt man ja auch wieder nicht, oder???
Wie gesagt, komme mit diesen Aufgaben noch nicht ganz zurecht :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, ich hatte die Dgl [mm] y'=7y+8e^{3x} [/mm] im Kopf.
für [mm] y'=7y-9e^{3x} [/mm] gilt mit dem Ansatz
[mm] y=A*e^{3x}
[/mm]
3A=7A-8 also A=+2
die Lösung also [mm] y=C*e^{/x}+2*e^{3x}
[/mm]
Der Ansatz [mm] y=A*e^{3x} [/mm] rechtfertigt sich nur dadurch, dass man ein A bestimmen kann so dass die Dgl erfüllt ist.
der ansatz y=A*inhomogener Teil führt oft zu einer lösung.
Dann gibt es den Satz für lineare inhomogene Dgl:
eine allgemeine lösung der homogenen dgl + eine beliebige spezielle lösung der inhomogenen Dgl liefert die allgemeine lösung der gesamten inhomogenen Dgl.
den will ich hier nicht beweisen.
der Satz gilt nur für lineare dgl, d.h. y'',y' y dürfen nur linear vorkommen!
Das wichtige bei Dgl gegenüber "gewöhnlichen" Gl. ist, dass du eine unbekannte Funktion suchst. du kannst also nicht einfach intgrieren. Nur wenn die Dgl keine eigentliche ist, also y'=f(x) kannst du y einfach durch integrieren finden.
eine ausführliche Seite dazu kenn ich nicht direkt.
vielleicht hilft dir
http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node125.html
Gruss leduart
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Hi nochmal,
also entweder übersehe ich was, oder ich weiß nicht, denn die Lösung
[mm] y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x} [/mm] erfüllt doch auch nicht [mm] y'=7y-8\cdot{}e^{3x}, [/mm] oder??
Denn wenn ich ableite, bekomme ich wieder y'= [mm] 7C\cdot{}e^{7x}+6\cdot{}e^{3x}=7y+6\cdot{}e^{3x} [/mm] und ich kriege wieder nicht meine [mm] -8\cdot{}e^{3x}
[/mm]
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Hallo steve.joke,
> Hi nochmal,
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> also entweder übersehe ich was, oder ich weiß nicht, denn
> die Lösung
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> [mm]y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x}[/mm] erfüllt doch auch nicht
> [mm]y'=7y-8\cdot{}e^{3x},[/mm] oder??
>
> Denn wenn ich ableite, bekomme ich wieder y'=
> [mm]7C\cdot{}e^{7x}+6\cdot{}e^{3x}=7y+6\cdot{}e^{3x}[/mm] und ich
> kriege wieder nicht meine [mm]-8\cdot{}e^{3x}[/mm]
Mit der linken Seite y' musst Du auch die rechte Seite [mm]7*y-8*e^{3x}[/mm] berechnen, und dann vergleichen.
Gruss
MathePower
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Hmmmm,
wie jetzt??
ich dachte, ich bekomme meine Lösung, indem ich die allegemeine Lösung der homogenen DGL zu der speziellen Lösung der inhomogenen DGL hinzuaddiere, oder nicht??
Deswegen kamen wir ja auf [mm] y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x}??
[/mm]
> Mit der linken Seite y' musst Du auch die rechte Seite $ [mm] 7\cdot{}y-8\cdot{}e^{3x} [/mm] $ berechnen, und dann vergleichen.
Wie meinst du das jetzt??
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Hallo steve.joke,
> Hmmmm,
>
> wie jetzt??
>
> ich dachte, ich bekomme meine Lösung, indem ich die
> allegemeine Lösung der homogenen DGL zu der speziellen
> Lösung der inhomogenen DGL hinzuaddiere, oder nicht??
>
Das ist auch richtig.
> Deswegen kamen wir ja auf
> [mm]y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x}??[/mm]
>
>
> > Mit der linken Seite y' musst Du auch die rechte Seite
> [mm]7\cdot{}y-8\cdot{}e^{3x}[/mm] berechnen, und dann vergleichen.
>
> Wie meinst du das jetzt??
Ich hab nicht den ganzen Thread gelesen, dennoch denke ich,
daß Du die oben stehende Lösung überprüfen willst.
Dazu musst Du nun mal die linke und rechte Seite der DGL berechnen.
Gruss
MathePower
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Ja genau,
ich will gucken, ob [mm] y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x} [/mm] wirklich diese Bedingung hier erfüllt:
[mm] y'=7y-8e^{3x}.
[/mm]
Denn das war ja die Aufgabenstellung.
So, ich dachte nun, dass ich einfach [mm] y=C\cdot{}e^{7x}+2\cdot{}e^{3x} [/mm] ableiten muss, und wenn dann auch [mm] y'=7y-8e^{3x} [/mm] herauskommt, ist alles richtig.
aber bei meiner Ableitung, kam ja nicht dasselbe heraus. Wie meinst du jetzt rechts und links vergleichen?? Verstehe das nicht so ganz...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die gewöhnliche gleichung
[mm] x^2=7x-12
[/mm]
gelöst hast und x=3 als lösung hast, setzt du doch nicht nur links [mm] 3^2 [/mm] ein, sondern auch rechts 7*3
also ist deine "Probe"
[mm] 3^2=7*3-12 [/mm] und die stimmt.
jetz hast du die vermutete lösung [mm] y=C*e^{7x}+2*e^{3x}
[/mm]
die musst du links und rechs einsetzen, daz musst du y' bilden für die linke seite: [mm] y'=7Ce^{7x}+6e^{3x}
[/mm]
links und rechts in die Dgl
[mm] y'=7y-8e^{3x}
[/mm]
[mm] 7Ce^{7x}+6e^{3x}=7*(C*e^{7x}+2*e^{3x})-8e^{3x}
[/mm]
wenn du die rechte Seite jetz ausrechnest ist sie gleich der linken, also stimmt die Probe, genau wie bei der gewöhnlichen Gleichung. und y,y' erfüllen die Dgl, so wie [mm] x^2 [/mm] und x die Gl. erfüllten.
Ich hoffe, damit ist das prinzio der "Probe" klar
Gruss leduart
ich hoffe, dami
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 01.12.2011 | | Autor: | steve.joke |
Achsooo.
Vielen Dank euch.
Grüße
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