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| Aufgabe | Zur Differentialgleichung
[mm] y'=\bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
bestimme man die Gleichung der Isoklinenschar und skizziere das Richtungsfeld sowie derjenige Lösung der Differentialgleichung, welche durch den Punkt [mm] (x_{0}, y_{0} [/mm] = (0,1) geht. |
Guten Tag :)
Mein Ansatz:
[mm] y'=\bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral {\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(x)+C = arctan x | tan
[mm] \Rightarrow [/mm] x = tan(ln(x)+C)
x(1) = 0
x(1) = tan(ln(1) + C)=0
Also ich habe noch nicht verstanden wie ich die Aufgabe nun lösen kann, ich verstehe lediglich dass ich y' mit dy/dx ersetzen muss, x und y voneinander trenne, es integriere und dann nach entweder x und y auflöse. Kann mir jemand zeigen bzw erklären was ich hier nun machen muss? Wie ich diesen Aufgabentyp lösen kann?
Gruß, Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 07.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matthias!
> [mm]\Rightarrow \integral {\bruch{1}{y} dy}[/mm] = [mm]\integral {\bruch{1}{x^{2}+1} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln(x)+C = arctan x
Hier muss es natürlich heißen:
[mm] $$\ln(\red{y})+c [/mm] \ = \ [mm] \arctan(x)$$
[/mm]
Diese Gleichung nun nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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Okay danke Loddar... das war zum Glück nur ein kleiner Tippfehler .)
also
[mm] \ln(\red{y})+c [/mm] = [mm] \arctan(x) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] e^{arctan(x)-C}
[/mm]
ich merke mir also schon mal, dass ich die Gleichung immer nach "y" auflösen muss!
Aber tut mir leid, ich verstehe nicht wie man an sich bei so einer Aufgabe vorgeht. (im internet finde ich irgendwas darüber dass y' = const = C sei, man darüber arbeiten muss, eventuell verschiedene Werte für C einsetzen muss?)
Wenn ich eine Beispielaufgabe oder ein Schema finden würde, an dem ich mich entlang hangeln könnte und sehe wie man vorgehen muss, würde ich ja nicht so dumm fragen :), sorry!
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Hallo!
Ich verstehe nicht ganz, wo dein Problem liegt? Weißt du nicht, wie man auf den Wert von C kommt? Du hast nun herausbekommen dass
$y = [mm] e^{\arctan(x)+C}$
[/mm]
ist (Du kannst auch "+C" schreiben, schließlich ist [mm] C\in\IR [/mm] ). Nun soll die Funktion y(x) noch durch (0|1) gehen, d.h. es muss gelten:
$1 = [mm] e^{\arctan(0)+C} [/mm] = [mm] e^{C}$
[/mm]
d.h. es muss gelten: $C = 0\ $.
VIele Grüße, Stefan.
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Hallo!
Um das Richtungsfeld bei einer Differentialgleichung der Form
$y' = f(x,y)$
zu skizzieren, zeichne ein Koordinatensystem. Nun nimmst du dir nacheinander die Punkte mit ganzzahligen Komponenten vor (z.B. (0|1)) und setzt sie in die rechte Seite der DGL für x und y ein. Die Differentialgleichung gibt dir nun an, wie hoch die Steigung sein muss, du kannst sie als Strich angedeutet im Punkt (0|1) in dein Koordinatensystem eintragen.
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 So 07.06.2009 | | Autor: | matzew611 |
Danke, ich probiere es sofort mal aus.
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[mm] y'=\bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral {\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(y)+C = arctan x
[mm] \Rightarrow y=e^{arctan(x)-C}
[/mm]
bzw.
[mm] \Rightarrow [/mm] C = arctan(x)-ln(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] y(0)=1
[mm] \Rightarrow [/mm] C=arctan(0)-ln(1)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] arctan(x)-ln(y)=0
Nun setze ich verschiedene Werte für x und y ein:
z.B.
(0|1) [mm] \Rightarrow [/mm] 0
(0|2) [mm] \Rightarrow [/mm] -0,69
(0|3) [mm] \Rightarrow [/mm] -1,09
(0|4) [mm] \Rightarrow [/mm] -1,39
(1|1)
(1|2)
(1|3)
(1|4)
(2|1)
(2|2)
(2|3)
(2|4)
usw...
die Ergebnisse skizziere ich in ein Koordinatensystem, wobei ich z.B.
-0.69 als so einen Strich andeute: \ (von links oben nach rechts unten)
0 als: - (da keine Steigung vorliegt)
+2,23 als: / (von links unten nach rechts oben)
je höher der Wert desto steiler der Strich
wäre diese Lösung so richtig?
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Hallo!
![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du dir auch ein Richtungsfeld zeichnen lassen  Da kommt man auf folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
D.h. deine Werte
> Nun setze ich verschiedene Werte für x und y ein:
>
> z.B.
> (0|1) [mm]\Rightarrow[/mm] 0
> (0|2) [mm]\Rightarrow[/mm] -0,69
> (0|3) [mm]\Rightarrow[/mm] -1,09
> (0|4) [mm]\Rightarrow[/mm] -1,39
hauen irgendwie nicht so ganz hin...
VIele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 So 07.06.2009 | | Autor: | matzew611 |
Okay, super besten Dank!!
Ich habe ein wenig sehr dumm gedacht, ich habe die x und y-Werte in C = arctan(x)-ln(y) eingesetzt und nicht in die Ausgangsgleichung.
Ich denke ich habe nun alles verstanden! Viele Dank auch für den Link zum Applet, sehr feine Sache!
Schönen Sonntag noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 07.06.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
Du kannst aus deiner DGL auch die Gleichung deiner Isokline ableiten, auf der jeweils alle Linienelemente mit der gleichen Steigung liegen:
[mm] $y'=\frac{y}{x^2+1}=m$
[/mm]
Zu einem Punkt [mm] P(x_0;y_0) [/mm] gehört eine Steigung [mm] m_0:
[/mm]
[mm] $m_0=\frac{y_0}{x_{0}^2+1}$
[/mm]
und die Isokline
[mm] $y=m_0*(x^2+1)$ [/mm] .
LG, Martinius
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