DGL-Lösung auflösen nach y(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
[mm]y' = 9y^2-4[/mm] |
Hi hänge bei der Auflösung dieser DGL fest.
Habe mittels Integration die Gleichung soweit umformen können, so dass ich weiss dass
[mm]y' = 9y^2-4 \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}[/mm]
gilt. Doch wie löse ich das ganze nun nach [mm]y(x)[/mm] auf? Meine erste Idee auf beiden Seiten -1 zu rechnen und zwar in der Form
[mm]\bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c} \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} - \bruch{2+3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}-1 \gdw \bruch{-6y(x)}{2+3y(x)}= e^{12x+c}-1[/mm]
hilft mir auch nicht wirklich weiter.
Für die passende Umformung wäre ich sehr dankbar ;)
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Hallo NV,
> Man bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
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> [mm]y' = 9y^2-4[/mm]
> Hi hänge bei der Auflösung dieser DGL fest.
> Habe mittels Integration die Gleichung soweit umformen
> können, so dass ich weiss dass
>
> [mm]y' = 9y^2-4 \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}[/mm]
Hmm, ich komme da auf [mm] $\frac{y-2/3}{y+2/3}=\tilde c\cdot{}e^{12x}$
[/mm]
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> gilt. Doch wie löse ich das ganze nun nach [mm]y(x)[/mm] auf? Meine
> erste Idee auf beiden Seiten -1 zu rechnen und zwar in der
> Form
>
> [mm]\bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c} \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} - \bruch{2+3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}-1 \gdw \bruch{-6y(x)}{2+3y(x)}= e^{12x+c}-1[/mm]
>
> hilft mir auch nicht wirklich weiter.
> Für die passende Umformung wäre ich sehr dankbar ;)
Nun, in deiner (oder meiner  ) Lösung multipliziere mit dem Nenner durch, dann rechterhand ausmultiplizieren, alles mit y auf die linke Seite, alles ohne y nach rechts und dann linkerhand y ausklammern und durch den "Klammerrest" teilen, um y freizustellen
Gruß
schachuzipus
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Nun gut deine Lösung der DGL ist offensichtlich die gleiche, denn
[mm]\bruch{y-\bruch{2}{3}}{y+\bruch{2}{3}} \;=\; \bruch{\bruch{3y}{3}-\bruch{2}{3}}{\bruch{3y}{3}+\bruch{2}{3}} \;=\; \bruch{\bruch{3y-2}{3}}{\bruch{3y+2}{3}} \;=\; \bruch{3y-2}{3y+2}[/mm]
Das fehlende Vorzeichen gribt man ja durch die Konstante c bereinigt. Gut dann werde ich mal schauen ob das mit dem rübermutltiplizieren klappt. Hatte da anfangs den Verdacht dass ich dann x und y vermische und dann nix gewonnen habe... mal schaun.
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sauber. Deine Beschreibung genommen und das Ergebnis stimmt :) Merci
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