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| Aufgabe | Loese>
[mm] y"+2y'+2y=x(e^{x}-2x) [/mm] |
Hallo,
also ich komm hier nicht weiter, fuer die homogene Gleichung habe ich
[mm] y_{h}=a*cos(x)e^{-x} [/mm] + [mm] b*sin(x)e^{-x}
[/mm]
aber wie mache ich da jetzt weiter?
Hab mit Variation der Konstanten probiert, war aber wohl nicht richtig...
Danke fuer die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 19.02.2007 | | Autor: | wauwau |
Wenn du die homogene schon gelöst hast, benötigst du nur partielle Lösungen der inhomogenen,
im konkreten Fall, kannst du den rechten inhomogenen Teil auch als
[mm] xe^{x} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] schreiben
also genügt es partielle Lösungen für
(1) y"+2y'+ 2y = [mm] xe^{x}
[/mm]
und
(2) y"+2y'+2x = [mm] -2x^{2}
[/mm]
zu finden
die erste kannst du lösen, indem du
y = [mm] Axe^{x}+Be^{x} [/mm]
setzt
so erhältst du
[mm] A=\bruch{1}{5} [/mm] und [mm] B=-\bruch{4}{5}
[/mm]
die zweite kannst du lösen, indem du
[mm] y=Ax^{2}+Bx+C [/mm] setzt
damit bekommts du
A=-1, B=2 c=-1
zusammen mit deiner homogenen Lösung ist die gesuchte Lösung nun
homogene Lösung + [mm] \bruch{1}{5}xe^{x}-\bruch{4}{5}e{x} [/mm] - [mm] (x-1)^{2}
[/mm]
P.s: Rechenfehler ohne Gewähr...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Werner A.,
bei Teil 1 ist [mm] b=-\bruch{4}{25}
[/mm]
der Rest stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Herby
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Alles klar, das ging ja doch ziemlich fix.
Irgendwie sitz ich vor meinem Tafelwerk und fühl mich von den LösungsAnsätzen usw. ein wenig erschlagen. Gibt es irgendwie eine gute Zusammenfassung oder hilft da nur üben, üben, nochmals üben?
LG Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 20.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Tim,
> Alles klar, das ging ja doch ziemlich fix.
> Irgendwie sitz ich vor meinem Tafelwerk und fühl mich von
> den LösungsAnsätzen usw. ein wenig erschlagen.
was hast du denn für ein Tafelwerk?
und noch eine Anmerkung zu deiner ersten Frage: Bei einer DGL zweiter Ordnung hatten wir noch nie mit der "Variation der Konstanten" gearbeitet - ich weiß allerdings auch nicht, ob dieses Lösungsverfahren überhaupt nur bei einer DGL 1.Ordnung geht.
Grundsätzlich kannst du sagen, dass sich die Ansätze für eine lineare DGL aus Einzelansätzen kombinieren lassen. Eine Störfunktion der Art:
[mm] y=4e^x+3sin(2x)-x^2 [/mm] besteht somit aus
[mm] y_1=4*e^x
[/mm]
[mm] $y_2=3*sin(2x)$
[/mm]
[mm] y_3=(-1)*x^2
[/mm]
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bei deinem Beispiel konntest du den Störansatz ebenfalls aufspalten, da es sich auch hier um eine lineare DGL handelt es gilt das Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip).
Für [mm] x*e^x [/mm] nimmst du den Ansatz [mm] y_p_1=(C_1*x+C_2)e^x [/mm] und für [mm] -2x^2 [/mm] entsprechend [mm] y_p_2=C_3x^2+C_4x+C_5
[/mm]
nun [mm] y_p_1 [/mm] und [mm] y_p_2 [/mm] zweimal ableiten, jeden für sich in die DGL einsetzen und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen.
Im Fall [mm] y_p_1 [/mm] erhältst du:
[mm] 5*C_1=1
[/mm]
[mm] 4*C_1+5*C_2=0
[/mm]
damit ist:
[mm] C_1=\bruch{1}{5}
[/mm]
und
[mm] C_2=-\bruch{4}{25}
[/mm]
---
Bei einer Multiplikation sieht das schon wieder anders aus, da kann es dir passieren, dass eine Multiplikation der Ansätze nicht zum Erfolg führt.
> Gibt es
> irgendwie eine gute Zusammenfassung oder hilft da nur üben,
> üben, nochmals üben?
eine Zusammenfassung hätte ich hier, aber ob die "gut" ist ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Formelsammlung
Üben ist halt nicht schlecht
>
> LG Tim
>
lg
Herby
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super, danke jetzt hab ichs! Das is ja doch ein ganzer Batzen rechenaufwand, also ein schwung variablen in mehr als einer Zeile.
Aber wie kommt man auf [mm] x*e^x [/mm] den Ansatz [mm] y_p_1=(C_1*x+C_2)e^x?
[/mm]
Wir haben den Göhler:
http://www.amazon.de/Formelsammlung-H%C3%B6here-Mathematik-Wilhelm-G%C3%B6hler/dp/381711754X
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danke, aber jetzt weiß ich doch nicht genau, wie kommst du auf
[mm] A=\bruch{1}{5} [/mm] und [mm] B=-\bruch{4}{25} [/mm]
und
A=-1, B=2 c=-1
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die 2 mal A und B sind NICHT DIESELBEN!
den Ansatz einstzen und in beiden Faellen A und B bestimmen, vielleicht nennst du sie im 2. Fall lieber C und D
> danke, aber jetzt weiß ich doch nicht genau, wie kommst du
> auf
> [mm]A=\bruch{1}{5}[/mm] und [mm]B=-\bruch{4}{25}[/mm]
> und
> A=-1, B=2 c=-1
Also C=-1, B=2
Gruss leduart
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- [mm] A*C_0=\red{C_1} [/mm] und [mm] B*C_0=\blue{C_2} [/mm] )
