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| Aufgabe | [mm] y'+x^2*y=2*x^2
[/mm]
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ich versuche die gleichung mit der variation der konstanten zu lösen.
1.homogene Lösung:
[mm] y=K*e^{-\integral{f(x)dx}}
[/mm]
[mm] y=K*e^{-\integral{x^2dx}}
[/mm]
[mm] y=K*e^{-\bruch{1}{3}*x^3} [/mm]
2.partikuläre Lösung:
K [mm] \rightarrow [/mm] K(x)
[mm] y=K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}
[/mm]
[mm] y'=K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3} [/mm] + [mm] K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}*(-x^2)
[/mm]
[mm] K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3} -x^2*K(x)*^{-\bruch{1}{3}*x^3}+x^2*K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2
[/mm]
[mm] K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2
[/mm]
[mm] K'(x)=2x^2*e^{\bruch{1}{3}*x^3}
[/mm]
nun wollte ich die partielle integration anwenden , aber wie leite ich
[mm] e^{\bruch{1}{3}*x^3}
[/mm]
auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
Substituiere hier: $u \ := \ [mm] \bruch{1}{3}*x^3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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> [mm]y'+x^2*y=2*x^2[/mm]
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> ich versuche die gleichung mit der variation der konstanten
> zu lösen.
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> 1.homogene Lösung:
>
> [mm]y=K*e^{-\integral{f(x)dx}}[/mm]
>
> [mm]y=K*e^{-\integral{x^2dx}}[/mm]
>
> [mm]y=K*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
>
>
> 2.partikuläre Lösung:
>
> K [mm]\rightarrow[/mm] K(x)
>
> [mm]y=K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
>
> [mm]y'=K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm] +
> [mm]K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}*(-x^2)[/mm]
>
> [mm]K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3} -x^2*K(x)*^{-\bruch{1}{3}*x^3}+x^2*K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2[/mm]
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> [mm]K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2[/mm]
>
> [mm]K'(x)=2x^2*e^{\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
>
> nun wollte ich die partielle integration anwenden , aber
> wie leite ich
>
> [mm]e^{\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
>
> auf?
also gut dann würde es weiter gehen:
[mm] z=\bruch{1}{3}*x^3
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=x^2
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dz}{x^2} [/mm]
[mm] K=\integral{2x^2*e^{\bruch{1}{3}*x^3} dx}=\integral{2x^2*e^z*\bruch{dz}{x^2}}=2*\integral{e^z dz}=2e^z=2e^{\bruch{1}{3}x^3} [/mm]
[mm] y=K*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2*e^{\bruch{1}{3}*x^3} *e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2
[/mm]
somit wäre die allgemeine lösung dann
y(x)=2
richtig?
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Hallo BlubbBlubb,
> > [mm]y'+x^2*y=2*x^2[/mm]
> >
> >
> > ich versuche die gleichung mit der variation der konstanten
> > zu lösen.
> >
> > 1.homogene Lösung:
> >
> > [mm]y=K*e^{-\integral{f(x)dx}}[/mm]
> >
> > [mm]y=K*e^{-\integral{x^2dx}}[/mm]
> >
> > [mm]y=K*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
> >
> >
> > 2.partikuläre Lösung:
> >
> > K [mm]\rightarrow[/mm] K(x)
> >
> > [mm]y=K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
> >
> > [mm]y'=K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}[/mm] +
> > [mm]K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}*(-x^2)[/mm]
> >
> > [mm]K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3} -x^2*K(x)*^{-\bruch{1}{3}*x^3}+x^2*K(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2[/mm]
>
> >
> > [mm]K'(x)*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2x^2[/mm]
> >
> > [mm]K'(x)=2x^2*e^{\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
> >
> > nun wollte ich die partielle integration anwenden , aber
> > wie leite ich
> >
> > [mm]e^{\bruch{1}{3}*x^3}[/mm]
> >
> > auf?
>
>
> also gut dann würde es weiter gehen:
>
> [mm]z=\bruch{1}{3}*x^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}=x^2[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{dz}{x^2}[/mm]
>
>
> [mm]K=\integral{2x^2*e^{\bruch{1}{3}*x^3} dx}=\integral{2x^2*e^z*\bruch{dz}{x^2}}=2*\integral{e^z dz}=2e^z=2e^{\bruch{1}{3}x^3}[/mm]
>
> [mm]y=K*e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2*e^{\bruch{1}{3}*x^3} *e^{-\bruch{1}{3}*x^3}=2[/mm]
>
> somit wäre die allgemeine lösung dann
>
> y(x)=2
das ist eine spezielle (partikuläre) Lösung [mm] $y_{part}(x)$
[/mm]
>
> richtig?
Das hast du alles richtig gerechnet, aber die allg. Lösung dieser linearen gewöhnlichen Dgl ist doch [mm] $y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)$
[/mm]
Also hier: [mm] $y(x)=2+K\cdot{}e^{-\frac{1}{3}x^3}$
[/mm]
Probe durch Ableiten und Einsetzen in die Dgl.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 27.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ja stimmt hast recht. thx for helping
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