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| Aufgabe | Geben Sie mit kurzen Begründungen die richtigen Ansatzfunktionen zur Ermittlung einer partikulären Lösung der folgenden Differentialgleichungen.Die Lösungen müssen nicht berechnet werden.
a) y"-y=e^(-x)+5
b)y"+y`+1=e^(-x)sin(x)
[mm] c)y"-2y`+3y=5e^x [/mm] cos(sqrt(2)x) + [mm] 7xe^x [/mm] sin(sqrt(2)x) |
Hallo,
a) [mm] P(x)=x^2-1=0 [/mm] hier:x entspricht lamda
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=-1
[/mm]
Es liegt ein Resonanzfall vor.
So: [mm] y=Ae^x+Bxe^{-x}
[/mm]
b)
y=xe^-x((Ax+B)sin(x)+(Cx+D)cos(x))
c)
[mm] y=e^x((Ax+B)cos [/mm] sqrt(2)x + (Cx+D)sin sqrt(2)x)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 29.11.2011 | | Autor: | Student89 |
c lautet richtig:
y" -2y' +3y = [mm] 5e^x [/mm] cos (sqrt (2) x) + 7 [mm] xe^x [/mm] sin( sqrt (2) x)
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Hallo Student89,
> Geben Sie mit kurzen Begründungen die richtigen
> Ansatzfunktionen zur Ermittlung einer partikulären Lösung
> der folgenden Differentialgleichungen.Die Lösungen müssen
> nicht berechnet werden.
>
> a) y"-y=e^(-x)+5
>
> b)y"+y'+1=e^(-x)sin(x)
>
> [mm]c)y"-2y'+3y=5e^x[/mm] cos(sqrt(2)x) + [mm]7xe^x[/mm] sin(sqrt(2)x)
> Hallo,
>
> a) [mm]P(x)=x^2-1=0[/mm] hier:x entspricht lamda
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=-1[/mm]
>
> Es liegt ein Resonanzfall vor.
>
Und der Ansatz dazu?
> So: [mm]y=Ae^x+Bxe^{-x}[/mm]
>
Ok, das ist die homogene Lösung.
> b)
>
> y=xe^-x((Ax+B)sin(x)+(Cx+D)cos(x))
>
Wenn das die Ansatzfunktion für die partikuläre Lösung sein soll,
dann muss die DGL so lauten:
[mm]y''+2*y'+y=e^{-x}sin(x)[/mm]
> c)
>
> [mm]y=e^x((Ax+B)cos[/mm] sqrt(2)x + (Cx+D)sin sqrt(2)x)
>
Die DGL ist nicht zu entziffern.
Fall die rechte Seite keine Lösung der homogenen DGL ist.
stimmt der Ansatz.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
In der Mitteilung habe ich die DGL nochmal richtig geschrieben.Stimmt dann c so?Und wie muss b lauten?Ich komme nicht darauf.
Gruß
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Hallo,
der Ansatz für a lautet [mm] y=(Ax+B)e^x
[/mm]
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
>
> der Ansatz für a lautet [mm]y=(Ax+B)e^x[/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]y=(Ax+B)e^{\blue{-}x}[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo Student89,
> Hallo,
>
> In der Mitteilung habe ich die DGL nochmal richtig
> geschrieben.Stimmt dann c so?Und wie muss b lauten?Ich
> komme nicht darauf.
>
Der Teil c) stimmt dann so.
Die homogene DGL aus b) müßte dann so lauten:
[mm]y''+2*y'+2*y=0[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
Ich wollte eigentlich wissen, wie die Ansatzfunktion zur Ermittlung einer partikulären Lösung der DGL in b lautet.
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
>
> Ich wollte eigentlich wissen, wie die Ansatzfunktion zur
> Ermittlung einer partikulären Lösung der DGL in b
> lautet.
>
Dann lautet die Ansatzfunktion:
[mm]y=x*e^{-x}((A*sin(x)+B*cos(x))[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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