DGL + AWP lösen - Starthilfe? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 26.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung und das Anfangswertproblem und machen Sie eine Probe. Geben Sie die Lösungsintervalle der allgemeinen Lösung explizit an.
[mm] yy'-xy^2+x=0, [/mm] y(0)=-1 |
Guten Tag,
ich hoffe hier kann mir jemand eine kleine Starthilfe zur obigen Aufgabe geben.  Was DGL prinzipell sind und wozu man sie braucht, habe ich verstanden. Nur weiß ich hier nicht, wo ich beginnen soll. Über jegliche Hinweise bin ich mehr als dankbar.
Viele Grüße,
Paul.
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Hallo Paul,
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung und das
> Anfangswertproblem und machen Sie eine Probe. Geben Sie die
> Lösungsintervalle der allgemeinen Lösung explizit an.
>
> [mm]yy'-xy^2+x=0,[/mm] y(0)=-1
> Guten Tag,
>
> ich hoffe hier kann mir jemand eine kleine Starthilfe zur
> obigen Aufgabe geben. Was DGL prinzipell sind und wozu
> man sie braucht, habe ich verstanden. Nur weiß ich hier
> nicht, wo ich beginnen soll. Über jegliche Hinweise bin
> ich mehr als dankbar.
Diese Differentialgleichung kannst du erstmal allgemein über Trennung der Variablen lösen:
[mm] yy'-xy^2+x=0 \gdw
[/mm]
[mm] yy'=xy^2-x=x(y^2-1) \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral\frac{y}{y^2-1}dy=\integral [/mm] x dx
Nach der Integration erhältst du auf einer Seite eine Konstante, die es dann mithilfe der Anfangsbedingung zu bestimmen gilt.
Achtung, Sonderfälle [mm] y^2-1=(y+1)(y-1)=0 [/mm] beachten. Hier sieht man z.B, dass die Funktion y(x)=-1 für alle x eine Lösung der DGL und auch des Anfangswertproblems ist. (Probe kannst du machen)
>
> Viele Grüße,
> Paul.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 26.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort, das hat mich schonmal nach vorn gebracht.
Konnte jetzt durch Substitution und Umstellen den folgenden, hoffentlich korrekten Ausdruck produzieren:
y = [mm] \wurzel{e^(x^2+2c)-1}
[/mm]
Nun gilt es, c zu bestimmen. Dazu muss ich die Formel nach c umstellen und y=-1, x=0 setzen, sofern ich das richtig verstanden habe?
Somit erhalte ich:
[mm] y(x)^2=e^{x^2+2c}-1 \gdw [/mm] 2 = e^(2c) [mm] \gdw [/mm] ln(2) = 2c [mm] \gdw [/mm] c = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ln(2)
EDIT: Okay, beim Einsetzen kommt leider 1 statt -1 heraus. Wie kann ich das hinbiegen?
Es wäre schön, wenn mir auch hier jemand unter die Arme greifen könnte falls es nicht richtig ist; es ist wirklich mein erster Versuch, eine DGL zu lösen.
Oder auch wenn mir nur kurz jemand sagen könnte, ob mein Rechenweg korrekt oder falsch ist (ich weiß, es ist schon spät; morgen ist Abgabe :-/)!
Viele Grüße,
Paul.
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Hallo Paul,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort, das hat mich schonmal nach
> vorn gebracht.
> Konnte jetzt durch Substitution und Umstellen den
> folgenden, hoffentlich korrekten Ausdruck produzieren:
>
> y = [mm]\wurzel{e^(x^2+2c)-1}[/mm]
Nun, das kann doch wegen der Anfangsbedingung nicht sein. Die Wurzel liefert doch nie und nimmer den Wert [mm]-1[/mm]
Du hast doch ausgehend von
[mm]\int{\frac{y}{y^2-1} \ dy}=\int{x \ dx}[/mm] doch
[mm]\frac{1}{2}\ln(|y^2-1|)=\frac{1}{2}x^2+c[/mm]
Also [mm]\ln(|y^2-1|)=x^2+2c[/mm], damit [mm]|y^2-1|=e^{x^2+2c}=e^{2c}\cdot{}e^{x^2}=\tilde c\cdot{}e^{x^2}[/mm]
Damit [mm]y^2=\hat c\cdot{}e^{x^2}+1[/mm] und schließlich
[mm]y=\pm\sqrt{\hat c\cdot{}e^{x^2}+1}[/mm]
Wegen des Anfangswertes kommt nur [mm]y=\red{-}\sqrt{\hat c\cdot{}e^{x^2}+1}[/mm] in Frage.
Nun bestimme nochmal [mm]\hat c[/mm] gem. [mm]y(0)=-1[/mm] ...
Und vergleiche nochmal intensiv mit kamaleontis Antwort ...
Was stellst du fest?
>
> Nun gilt es, c zu bestimmen. Dazu muss ich die Formel nach
> c umstellen und y=-1, x=0 setzen, sofern ich das richtig
> verstanden habe?
>
> Somit erhalte ich:
> [mm]y(x)^2=e^{x^2+2c}-1 \gdw[/mm] 2 = e^(2c) [mm]\gdw[/mm] ln(2) = 2c [mm]\gdw[/mm] c
> = [mm]\frac{1}{2}[/mm] ln(2)
>
> Es wäre schön, wenn mir auch hier jemand unter die Arme
> greifen könnte falls es nicht richtig ist; es ist wirklich
> mein erster Versuch, eine DGL zu lösen.
> Oder auch wenn mir nur kurz jemand sagen könnte, ob mein
> Rechenweg korrekt oder falsch ist (ich weiß, es ist schon
> spät)!
>
> Viele Grüße,
> Paul.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 26.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo,
nach ein wenig mehr Nachdenken kam nun die Erleuchtung, Danke! Vorzeichendreher. Musste auch erst einmal kurz nachdenken, warum da jetzt Betragsstriche sind, die vergisst man schnell. c=0, y=-sqr(1)=-1.
kamaleontis hat natürlich recht. Ich komm nur gerade trotzdem nicht dahinter, wie er das so schnell gesehen hat...
Nichtsdestotrotz, die Aufgabe ist gelöst. Vielen Dank an euch beide. Wirklich ein super Forum hier.
Die Frage nach dem Lösungsintervall bleibt noch offen, aber ich denke mal es ist ein wenig spät, sich auch damit noch zu befassen. Es sei denn, das ist ein sehr offensichtlicher Einzeiler?
Viele Grüße,
Paul.
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Hallo PaulW89,
> Hallo,
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> nach ein wenig mehr Nachdenken kam nun die Erleuchtung,
> Danke! Vorzeichendreher. Musste auch erst einmal kurz
> nachdenken, warum da jetzt Betragsstriche sind, die
> vergisst man schnell. c=0, y=-sqr(1)=-1.
>
> kamaleontis hat natürlich recht. Ich komm nur gerade
> trotzdem nicht dahinter, wie er das so schnell gesehen
> hat...
>
> Nichtsdestotrotz, die Aufgabe ist gelöst. Vielen Dank an
> euch beide. Wirklich ein super Forum hier.
>
> Die Frage nach dem Lösungsintervall bleibt noch offen,
> aber ich denke mal es ist ein wenig spät, sich auch damit
> noch zu befassen. Es sei denn, das ist ein sehr
> offensichtlicher Einzeiler?
Für die Sonderfälle [mm]y=\pm 1[/mm] ist das ein Einzeiler.
Für alle anderen Fälle muß Du
[mm]\vmat{y^2-1}=\hat c\cdot{}e^{x^2}[/mm]
betrachten.
Das Lösungsintervall ist dann abhängig von [mm]\hat{c}[/mm].
>
> Viele Grüße,
> Paul.
Gruss
MathePower
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