DGL 1.O. mit VdK < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 05.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo, bin mir unsicher ob ich folgende Aufgabe richtig gerechnet habe (Probe kommt mir komisch vor) :
y'+x*y=4x
(1) homogene Lsg:
[mm] y_{h}=c*e^{- \bruch{x^2}{2}}
[/mm]
(2) Vdk:
[mm] y'=c'(x)*x+c(x)*x^2
[/mm]
--> c(x)= [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] 2x^2+k [/mm] = [mm] \bruch{5x^2}{2}+k
[/mm]
(3) allg. Lsg:
y(x)=( [mm] \bruch {5x^2}{2} [/mm] + k)*x
(4) Probe:
[mm] y'=4(\bruch {x^2}{2} [/mm] + [mm] 2x^2+k) [/mm] - [mm] (\bruch {x^2}{2} [/mm] + [mm] 2x^2+k [/mm] )*(( [mm] \bruch {5x^2}{2} [/mm] + k)*x) = [mm] 10x^2 [/mm] - [mm] \bruch {25x^5}{4}
[/mm]
Danke für's Antworten Kruder77
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Hallo,
> y'+x*y=4x
>
> (1) homogene Lsg:
>
> [mm]y_{h}=c*e^{- \bruch{x^2}{2}}[/mm]
>
Das stimmt.
> (2) Vdk:
>
> [mm]y'=c'(x)*x+c(x)*x^2[/mm]
> --> c(x)= [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] + [mm]2x^2+k[/mm] = [mm]\bruch{5x^2}{2}+k[/mm]
Das stimmt so nicht.
Ansatz für partikuläre Lösung:
[mm]
\begin{gathered}
y_{p} \left( x \right)\; = \;c(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \hfill \\
y_{p }^{'} \left( x \right)\; = \;c'(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \; - \;c(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Eingesetzt in die DGL liefert:
[mm]
\begin{gathered}
y_{p }^{'} \; + \;x\;y_{p} \; = \;4\;x \hfill \\
\Rightarrow \;c'(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \; - \;c(x)\;x\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \; + \;x\;c(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \; = \;4\;x \hfill \\
\Leftrightarrow \;c'(x)\;e^{ - \frac{{x^{2} }}
{2}} \; = \;4\;x \hfill \\
\Leftrightarrow \;c'(x)\;\; = \;4\;x\;e^{ \frac{{x^{2} }}
{2}} \hfill \\
\Rightarrow \;c(x)\; = \;\int {4\;x\;e^{ \frac{{x^{2} }}
{2}} \;dx} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 05.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
noch eine kleine Frage: ist denn Vdk (Variation der Konstanten) das selbe wie die partikuläre Lösung? Oder muss ich vor der VdK immer die partikuläre Lösung ermitteln?
MfG Kruder77
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Hallo Kruder77,
> noch eine kleine Frage: ist denn Vdk (Variation der
> Konstanten) das selbe wie die partikuläre Lösung? Oder muss
> ich vor der VdK immer die partikuläre Lösung ermitteln?
mit Hilfe der Methode der VdK ( Variation der Konstanten ) ermitteltst Du die allgemeine Lösung der DGL 1. Ordnung.
Gruß
MathePower
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