DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Do 10.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben seien das DGL-System 1. Ordnung in [mm] \vec{y},
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dt}\vec{y}(t)=\pmat{ -3 & 3 & -2 \\ 2t^2-2t-7 & -2t^2+2t+5 & t^2-2t-4 \\ 2t^2-2t-2 & -2t^2+2t & t^2-2t-1 }y(t), [/mm] zusammen mit den drei Lösungen [mm] \vec{y_{1}}, \vec{y_{2}}, \vec{y_{3}} [/mm] mit
[mm] \vec{y_{1}}(t) [/mm] = [mm] \vektor{t+1 \\ t \\ -2},
[/mm]
[mm] \vec{y_{2}}(t) [/mm] = [mm] \vektor{t^2+2t+1 \\ t^2+3 \\ -4t+2},
[/mm]
[mm] \vec{y_{3}}(t) [/mm] = [mm] \vektor{t^2+4t+3 \\ t^2+2t+3 \\ -4t-2}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Lösungen [mm] \vec{y_{1}}, \vec{y_{2}} [/mm] und [mm] \vec{y_{3}} [/mm] linear abhängig sein.
b) Stellen Sie die Lösung [mm] \vec{y_{3}} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{y_{1}} [/mm] und [mm] \vec{y_{2}} [/mm] dar. |
Hallo,
also bei a) wollte ich die Wronski-Matrix (also die drei Vektoren spaltenweise in eine Matrix schreiben) aufstellen und dann die Determinante berechen und wenn diese gleich 0 ist, dann sind sie linear abhängig. Kann man das so machen?
Gruß David
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Hallo David90,
> Gegeben seien das DGL-System 1. Ordnung in [mm]\vec{y},[/mm]
> [mm]\bruch{d}{dt}\vec{y}(t)=\pmat{ -3 & 3 & -2 \\ 2t^2-2t-7 & -2t^2+2t+5 & t^2-2t-4 \\ 2t^2-2t-2 & -2t^2+2t & t^2-2t-1 }y(t),[/mm]
> zusammen mit den drei Lösungen [mm]\vec{y_{1}}, \vec{y_{2}}, \vec{y_{3}}[/mm]
> mit
> [mm]\vec{y_{1}}(t)[/mm] = [mm]\vektor{t+1 \\ t \\ -2},[/mm]
> [mm]\vec{y_{2}}(t)[/mm]
> = [mm]\vektor{t^2+2t+1 \\ t^2+3 \\ -4t+2},[/mm]
> [mm]\vec{y_{3}}(t)[/mm] =
> [mm]\vektor{t^2+4t+3 \\ t^2+2t+3 \\ -4t-2}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Lösungen [mm]\vec{y_{1}}, \vec{y_{2}}[/mm]
> und [mm]\vec{y_{3}}[/mm] linear abhängig sein.
> b) Stellen Sie die Lösung [mm]\vec{y_{3}}[/mm] als
> Linearkombination von [mm]\vec{y_{1}}[/mm] und [mm]\vec{y_{2}}[/mm] dar.
> Hallo,
> also bei a) wollte ich die Wronski-Matrix (also die drei
> Vektoren spaltenweise in eine Matrix schreiben) aufstellen
> und dann die Determinante berechen und wenn diese gleich 0
> ist, dann sind sie linear abhängig. Kann man das so
> machen?
Ja, das kann man so machen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 12.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok und bei b) hab ich einfach geschrieben:
Offensichtlich ist [mm] 2*\vec{y_{1}}+\vec{y_{2}}=\vec{y_{3}}
[/mm]
und dann hab ich das durchgerechnet und auf der linken Seite kam dasselbe raus wie auf der rechten. Müsste reichen oder?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok und bei b) hab ich einfach geschrieben:
> Offensichtlich ist [mm]2*\vec{y_{1}}+\vec{y_{2}}=\vec{y_{3}}[/mm]
> und dann hab ich das durchgerechnet und auf der linken
> Seite kam dasselbe raus wie auf der rechten. Müsste
> reichen oder?
Ja, das reicht.
FRED
> Gruß David
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