www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL 2. Ordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung
DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL 2. Ordnung: Anfangswertprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mo 27.10.2008
Autor: maureulr

Aufgabe
y"+9y=sin(3x) , y(0)=1 , y'(0)=0

homogene :

t²+9=0

t=+- 3i  --> y0=c1*e^(3i)x + c2*e(-3i)x

inhomogene :

yp=sin(3x)

Ansatz :

yp=a*sin(3x)+b*cos(3x)
y'p= 3acos(3x)-3b*sin(3x)
y"p= -9asin(3x)-9bcos(3x)

einsetzen :

-9asin(3x)-9bcos(3x)+9asin(3x)+9bcos(3x)=sin(3x)

Vergleich k.:

-9a+9a = 1  --> a= ???
-9b+9b = 0  --> b=1

Wie komme ich dort weiter ? Könnte mir freundlicherweise jemand helfen ??? habe ich einen verkehrten ansatz gewählt oder verkehrt abgeleitet ???

Mfg Ulli

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 27.10.2008
Autor: Herby

Hallo Ulli,

und recht herzlich [willkommenmr]


Mit dem Ansatz [mm] y_p=\red{x}*(a*\sin(3x)+b*\cos(3x)) [/mm] sollte diese DGL lösbar sein.

Begründung: deine Störfunktion lautet allgemein [mm] y=\sin(\beta*x) [/mm]

Sollte nun [mm] i*\beta [/mm] eine Lösung (wie es bei dir ja der Fall ist) der charakteristischen Gleichung sein, so muss der Ansatz [mm] y_p=.... [/mm] mit x multipliziert werden.


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Di 28.10.2008
Autor: maureulr

Aufgabe
Ansatz :

yp=x(a*sin(3x)+b*cos(3x) )

y'p=a*sin(3x)+b*cos(3x) + x*(3a*cos(3x)-3b*sin(3x))

y"p=6a*cos(3x)-6b*sin(3x)+x*(-9a*sin(3x)-9b*cos(3x))

y"p+9yp=sin(3x)

-> 6a*cos(3x)-6b*sin(3x)-9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))+9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x)) =1* sin (3x)+0*cos(3x)

kürzen :  

->6a*cos(3x)-6b*sin(3x) = 1*sin(3x)+0*cos(3x)

Koeffizientenvergleich :

6a*cos(3x) = 0*cos(3x)   und       -6b*sin (3x) = 1*sin (3x)

6a = 0  --> a = 0  (für cos(3x)) ;   -6b = 1  --> b=-1/6 (für sin (3x))

yp=-1/6*sin(3x)


y=y0+yp=c1*e^(3i)x + c2*e^(-3i)x - (1/6) * sin (3x)

y(0)=1 --> 1= c1 + c2  --> c1 = 1 - c2

y'(0)=0 --> c1 = c2 + (1/9i)

=> c1 = 1/2 + (1/18)*i  
=> c2 = 1/2 - (1/18)*i

einsetzen in y :

y= [( 1/2 + (1/18)i )*e^(3i)x] + [( 1/2 - (-1/18)i )*e^(-3i)x] - [1/6 * sin (3x)]

Schönen Dank für die schnelle Antwort !!!

Ich habe jetzt mal durchgerechnet und die folgende Lsg. rausbekommen !

Ist diese so richtig ?

Soll man diese weiter auflösen oder kann man die Lsg. stehen lassen !?



Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Di 28.10.2008
Autor: Herby


Hallo,

das schaue ich mir morgen früh an - heute nicht mehr [saumuede]


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 Mi 29.10.2008
Autor: maureulr

bin gegen mittag wieder online

Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Mi 29.10.2008
Autor: Herby

Hallo Ulli,


> Ansatz :
>  
> yp=x(a*sin(3x)+b*cos(3x) )
>  
> y'p=a*sin(3x)+b*cos(3x) + x*(3a*cos(3x)-3b*sin(3x))
>  
> y"p=6a*cos(3x)-6b*sin(3x)+x*(-9a*sin(3x)-9b*cos(3x))

[daumenhoch]  sieht gut aus

> [mm] y_p"+9y_p=sin(3x) [/mm]
>  
> ->
> 6a*cos(3x)-6b*sin(3x)-9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))+9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))
> =1* sin (3x)+0*cos(3x)

[ok]

> kürzen :  

eher zusammenfassen ;-)


> ->6a*cos(3x)-6b*sin(3x) = 1*sin(3x)+0*cos(3x)

ja!

> Koeffizientenvergleich :
>  
> 6a*cos(3x) = 0*cos(3x)   und       -6b*sin (3x) = 1*sin
> (3x)
>  
> 6a = 0  --> a = 0  (für cos(3x)) ;   -6b = 1  --> b=-1/6
> (für sin (3x))
>  
> [mm] y_p=-1/6*sin(3x) [/mm]

[daumenhoch] auch ok


>
> y=y0+yp=c1*e^(3i)x + c2*e^(-3i)x - (1/6) * sin (3x)

das ist nicht so gut. Es war [mm] \lambda_{1,2}=\pm3i [/mm]  -- daraus ergibt sich für [mm] y_0=C_1*sin(3x)+C_2*cos(3x) [/mm]


Erläuterung:

wenn [mm] \lambda_{1,2}=\red{\alpha}\pm\green{\beta}*i [/mm] Lösungen der charakteristischen Gleichung sind, dann bilden:

[mm] y_1=e^{\red{\alpha}x}*sin(\green{\beta}x)\quad und\quad y_2=e^{\red{\alpha}x}*cos(\green{\beta}x) [/mm]

eine Fundamentalbasis (kannst du über die Wronski-Determinante nachprüfen), deshalb ist:

[mm] y_0=e^{\red{\alpha}x}*\left[C_1*sin(\green{\beta}x)+C_2*cos(\green{\beta}x)\right] [/mm] eine allgemeine Lösung.

---

bei dir ist:

[mm] \red{\alpha}=0 [/mm] und [mm] \green{\beta}=3 [/mm] -- das ergibt

[mm] y_0=e^{\red{0}x}*\left[C_1*sin(\green{3}x)+C_2*cos(\green{3}x)\right] [/mm]

[mm] y_0=C_1*sin(3x)+C_2*cos(3x) [/mm]

Der Rest ist nur noch stumpfsinniges Einsetzen :-)


Ich erhalte: [mm] y=1*cos(3x)+\bruch{1}{2}*sin(3x)-\bruch{1}{6}*sin(3x) [/mm] also

[mm] y=cos{3x}+\bruch{1}{3}*sin(3x) [/mm]


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Mi 29.10.2008
Autor: maureulr

besten dank für die Hilfe

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]