DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] x^{3}*\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}+x^{2}*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 1;
y(1) = 2 und y'(1) = 1 |
Im Unterricht haben wir gerade eben mit DGLs 2. Ordnung begonnen. Uns wurden die folgenden 3 Sonderfälle von DGLs 2. Ordnung erklärt
Typ 1: y''(x) = F(x) (also ohne y(x) oder y'(x))
Typ 2: y''(x) = F(x, y') (also ohne y(x))
Typ 3: y''(x) = F(y) (also ohne x oder y'(x))
diese lassen sich relativ einfach lösen. Nun gehe ich davon aus, dass diese Aufabe sich wohl auf einen der 3 Typen zurückführen lässt.
ich habe die gegebene DGL umgeformt in ihre explizite Schreibweise:
y''(x) = [mm] \bruch{1-y'(x)*x^{2}}{x^{3}}
[/mm]
Sie hat also die Form y''(x) = F(x,y') (also Typ 2).
Typ 2 DGL sollen sich durch Substitution und anschliessende Trennung der Variabeln lösen lassen. Nun meine Frage: Funktioniert das wirklich in jedem Fall bei DGLs dieses Typs? Und worauf muss ich achten, um eine passende Substitution zu finden?
Ich habe es bereits mit folgender Substitution versucht: u(x) = y'(x)
daraus ergibt sich: u'(x) = [mm] \bruch{1-u(x)*x^{2}}{x^{3}}
[/mm]
Um die Variabeln zu trennen schreibe ich also: [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1-u*x^{2}}{x^{3}}
[/mm]
Hier stehe ich nun an, weil sich die Variabeln nicht trennen lassen. Brauche ich einen anderen Substitutionsansatz?
Danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 01.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
u'(x) = $ [mm] \bruch{1-u(x)\cdot{}x^{2}}{x^{3}} [/mm] $
schreibst du als
[mm] u'=-u/x+1/x^3
[/mm]
dann lost du zuerst die homogene Dgl und rätst eine der inhomogenen oder machst Variation der Konstanten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Bling |
Danke für deine Antwort. Hat mir schon mal etwas weitergeholfen.
1. Ich löse also den homogenen Teil:
[mm] u'(x)+\bruch{u(x)}{x} [/mm] = 0
dafür erhalte ich u = [mm] \bruch{1}{x}*c_{1}
[/mm]
Danach Rücksubstitution: y'(x) = [mm] \bruch{1}{x}*c_{1}
[/mm]
und erneute Integration um [mm] y_{H}(x) [/mm] zu erhalten: [mm] y_{H}(x) [/mm] = [mm] c_{1}*ln|x|+c_{2}
[/mm]
Ich hoffe da hat sich soweit kein Fehler eingeschlichen.
Ist es nun schon angebracht die beiden Anfangsbedingungen einzusetzen um die beiden Konstanten [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] zu erhalten oder darf ich das erst am Schluss machen?
2. Nun will ich die Partikuläre Lösung finden. Der Störterm heisst [mm] \bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
kann ich zu solchen Polynomen mit negativen Potenzen auch einen Polynomansatz machen? z.B.: [mm] y_{p} [/mm] = [mm] a*x^{-3}+b*x^{-2}+c^{-1}+d
[/mm]
Ich hab das mal durchexerziert, also 2 mal abgeleitet, in die Gleichung [mm] y''+\bruch{y'}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] eingesetzt, die Konstanten verglichen und habe [mm] y_{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] erhalten.
3. zusammengesetzt ergibt das: y(x) = [mm] y_{H}+y_{p} [/mm] = [mm] c_{1}*ln|x|+c_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
4. Wenn ich das ganze jetzt zur Kontrolle wieder 2 mal ableite und in die Ausgangsgleichung y'' = [mm] \bruch{1-y'*x^{2}}{x^{3}} [/mm] einsetze stimmt die Gleichung, also muss ich nur noch die Konstanten mit Hilfe der Anfangsbedingungen finden.
y(x) = [mm] 2*ln|x|+\bruch{1}{x}+1
[/mm]
Wär super wenn du mir bestätigen könntest, dass ich das richtig zu Ende gelöst habe.
Gruss Dani
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 01.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du gemacht hast ist wohl nicht falsch, aber eigentlich solltest du einfach erst die Dgl für u insgesamt lösen, und dann erst y daraus bestimmen.
Der Ansatz ist ok, eigentlich kann man wenn man die part. Lösung zu u sucht direkt [mm] A/x^2 [/mm] raten und nur A bestimmen.
Gut find ich, dass du dein ergebnis direkt durch Einsetzen überprüfst.
also weiter so! Alles richtig
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Bling |
Vielen Dank. Hab den anderen Weg auch noch ausprobiert. Braucht wohl noch etwas Übung bis ich das etwas eher sehe ;)
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