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| Aufgabe | Wir betrachten die Gleichung [mm] x^2(1-x)y''+2x(2-x)y'+2(1+x)y=0.
[/mm]
Finden Sie eine Lösung der Form [mm] t\mapsto t^\beta, \beta\in\mathbb{R}. [/mm] |
Guten morgen,
DGL kann ich eigentlich lösen, aber hier bin ich mir wegen der Form der geforderten Lösung unsicher. Ich habe angefangen, die Gleichung auszumultiplizieren, dann [mm] y=x^\beta [/mm] substituiert und nach [mm] \beta [/mm] umgestellt.
Die ausmultiplizierte Gleichung:
[mm] (\beta -1)\beta x^{\beta -2}x^2-(\beta -1)\beta x^{\beta -2}x^3+4\beta x^{\beta -1}x-2\beta x^{\beta -1}x^2+2x^\beta +2x^\beta*x=0
[/mm]
Nach [mm] \beta [/mm] umgestellt:
[mm] \beta=\bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
[mm] \beta=-2
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht weiter? Sicherlich [mm] \beta [/mm] einsetzten, aber dann?
Ist mein Ansatz bis hierhin richtig oder kann man das irgendwie anders lösen?
Bitte um Hilfe.
Danke
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Hallo Kasperkopf,
ja, [mm] y(x)=x^{-2} [/mm] löst die DGL in der Tat, wie man mit nachrechnen schnell überprüfen kann. Allerdings ist das eben nur eine Lösung (die du ja auch nur suchen sollst, von daher alles korrekt). Allgemeiner wird es, wenn du [mm] y(x)=Cx^{-2} [/mm] mit [mm] C\in\IR [/mm] wählst.
Allerdings stimmt alles mit den Variablen nicht. Offensichtlich soll die Lösung abhängig von $t$ sein, aber die DGL steht offensichtlich in Abhängigkeit von $x$. Seltsam...
Zusammenfassend: Ja, deine Lösung [mm] y(x)=x^{-2} [/mm] ist richtig!
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