DGL 2ter Ordnung y'=Ay < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Beispiel:
1.Löse die DGl der Form y'=Ay mit
[mm] A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
|
Hallo Leute!
Ich hätte da mal eine Frage zur lösung von homogenen DGL's 2ter Ordnung der Form y'=Ay. A ist eine nxn-Matrix.
Wenn die Matrix diagonalisierbar ist weiß ich wie ich das löse.
Was aber mache ich wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Wir haben da was mit Jordan-Form gemacht, und was mit verallg. Eigenvektoren die sich dann aber nicht finden ließen... und jetzt bin ich ganz durcheinander.
Ich hab oben eine Beispielaufgabe es wäre nett wenn ihr mir das daran vll erklären könntet...
Die Eigenwerte sind 1 und 2 wobei 2 zweiwertig ist.
Viele liebe Grüße
Mary
|
|
| |
|
Hi,
| Aufgabe | y'=Ay mit
$ A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} [/mm] $ |
Der allgemeine Ansatz bei einer solchen DGL ist [mm] $y=e^{At}$. [/mm] Du müsstest also wissen, was genau [mm] $e^A$ [/mm] ist. Deshalb versucht man zu die Matrix zu diagonalisieren. Das geht aber nicht in jedem Fall. Die nächste "schöne" Form ist die Jordannormalform. Bei einer JNF hat man den Vorteil, dass [mm] $\exp (SJS^{-1})=S \exp [/mm] (J) [mm] S^{-1}$ [/mm] gilt
Das macht die Sache einfacher.
nun konkret zu deiner Matrix:
Das charakteristische Polynom ist trivialerweise [mm] $\chi [/mm] = [mm] (\lambda -1)(\lambda -2)^2$
[/mm]
Wie man die JNF aufstellt ist jetzt geschmackssache ( einsen über oder unter Diagonale)
Eigenraum zum Eigenwert 1:
[mm] E_1 := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1/2\\ 0&1&1/2
\\ 0&0&0\end {array} \right)
[/mm]
[mm] $\ker(E_1): (0.5,0.5,-1)^T=:b_1$
[/mm]
Wenden wir uns dem Eigenwert 2 zu:
[mm]E_2:= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0
\\ 0&0&0\end {array} \right)
[/mm]
[mm] $\ker(E_2):(0,0,1)^T =:b_2$
[/mm]
Hier müssen wir allerdings noch [mm] $E_2^2betrachten$
[/mm]
[mm]
\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 1&0&0
\\ -2&0&0\end {array} \right)
\rightsquigarrow
\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0
\\ 0&0&0\end {array} \right)
[/mm]
[mm] $\ker(E_2^2):(0,1,0)^T:=b_3$
[/mm]
Daraus basteln wir jetzt unsere Transformationsmatrix:
[mm] $s_1 =b_1=(0.5,0.5,-1)^T$
[/mm]
[mm] $s_2 [/mm] = [mm] b_2= (0,1,0)^T$
[/mm]
[mm] $s_3=E_2\cdot b_2 [/mm] = [mm] (0,0,1)^T$
[/mm]
Unsere Transformationsmatrix sieht so aus:
[mm] $S=\pmat{ | & |&| \\ s_1 & s_2 &s_3 \\ | & | &|}=\pmat{ \frac{1}{2} & 0&0 \\ \frac{1}{2} & 1 &0 \\ -1 & 0 &1}$
[/mm]
Also erhalten wir [mm]S^{-1}AS=J= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&2&0
\\ 0&1&2\end {array} \right)
[/mm]
Jetzt gilt es endlich unseren Ansatz zu machen:
[mm] $e^{tA}=e^{S^{-1}tJS}=S^{-1}e^{tJ}S$. [/mm] Dazu schauen wir uns [mm] $e^{tJ}$ [/mm] an: Wir sehen zwei Jordankästchen:
[mm]tJ= \left( \begin {array}{c|cc} t&0&0\\ \hline 0&2t&0
\\ 0&t&2t\end {array} \right) [/mm] . Wir können einzeln die e-Funktion auf J anwenden.
Einmal kennen wir [mm] $e^t$. [/mm] Außerdem gilt ja [mm] $e^U [/mm] = [mm] e^{H+N}=e^H e^N$, [/mm] wenn HN=NH. Also zerpflücken wir noch den unteren Teil
[mm] $U:=\pmat{ 2t & 0 \\ t & 2t }=\pmat{ 2t & 0 \\ 0 & 2t }+\pmat{ 0 & 0 \\ t & 0 }$ [/mm] Damit steht fest:
[mm]e^U = e^H e^N =\pmat{ e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{2t} }\pmat{ 1 & 0 \\ e^t & 1 }= \left( \begin {array}{cc} {e}^{2\,t}&0\\ {e}^{2\,t}
t&{e}^{2\,t}\end {array} \right)
[/mm]
Setzen wir jetzt wieder alles zusammen erhalten wir:
[mm]e^J= \left( \begin {array}{c|cc} {{\rm e}^{t}}&0&0\\ \hline0&{
{\rm e}^{2\,t}}&0\\ 0&{{\rm e}^{2\,t}}t&{{\rm e}^{2
\,t}}\end {array} \right)
[/mm]
Eine Lösung der DGL lautet also nun so
[mm]y=S^{-1}e^J S \cdot \pmat{a\\b\\c}= \left( \begin {array}{ccc} {{\rm e}^{t}}&0&0\\ -1/2
\,{{\rm e}^{t}}+\frac{1}{2}\,{{\rm e}^{2\,t}}&{{\rm e}^{2\,t}}&0
\\ {{\rm e}^{t}}+\frac{1}{2}\,{{\rm e}^{2\,t}}t-{{\rm e}^{2
\,t}}&{{\rm e}^{2\,t}}t&{{\rm e}^{2\,t}}\end {array} \right) \cdot \pmat{a\\b\\c}
[/mm]
Damit steht fest für [mm] $y=\pmat {y_1\\y_2\\y_3}$
[/mm]
[mm] $y_1=a\cdot e^t$
[/mm]
[mm] $y_2=-\frac{1}{2}\,{{\rm e}^{t}}a+1/2\,a{{\rm e}^{2\,t}}+{{\rm e}^{2\,t}}b$
[/mm]
[mm] $y_3={{\rm e}^{t}}a+\frac{1}{2}\,a{{\rm e}^{2\,t}}t-a{{\rm e}^{2\,t}}+{{\rm e}^{2\,
t}}tb+{{\rm e}^{2\,t}}c$
[/mm]
|
|
|
|
