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| Aufgabe | a) Find a DE for the family of tangents to [mm] x^2+y^1=1. [/mm] (Hint: Let [mm] (cos(\varphi), sin(\varphi)) [/mm] be any point of the circle.)
b) Show that the general solution of the DE in a) is defined by the family of tangent lines.
c) Show, that [mm] x^2+y^2=1 [/mm] is a solution of the DE of a). What kind of solution is it? |
Hallo,
ich verstehe diese Aufgabe nicht.
zu a)
[mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -sin(\varphi) \\ cos(\varphi) \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $y_t=m*x_t+b$
[/mm]
einen Tangentenpunkt einsetzen:
[mm] $sin(\varphi)=\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi)+b$
[/mm]
[mm] $b=sin(\varphi)-\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi)$
[/mm]
[mm] $y_t=\bruch{\dot y}{\dot x}*x_t+\left(sin(\varphi)-\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi) \right)=-cot(\varphi)*x_t+\left(\bruch{1}{sin(\varphi)} \right)$
[/mm]
Das müsste die Tangentengleichung sein. Aber was meint der Aufgabensteller mit Differentialgleichung der Tangentenschar ? Das müsste doch
[mm] $y_t''(x_t)=0$
[/mm]
sein, da eine Gerade 2 Parameter hat?
zu b) Verstehe ich nicht. Jede Geradengleichung ist doch eine Lösung von y''=0.
zu c) Diese Frage lässt mich vermuten, dass ich a) missverstanden habe.
LG, Martinius
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Für jede Gerade gilt [mm]y'' = 0[/mm]. Diese Differentialgleichung beschreibt also nicht nur die Kreistangenten.
Der Ansatz mit den trigonometrischen Funktionen ist nicht erforderlich.
Gehen wir aus von einem Punkt [mm](a,b)[/mm] auf dem Einheitskreis mit [mm]b \neq 0[/mm]. (Im Falle [mm]b = 0[/mm] handelt es sich um die Punkte [mm](\pm 1,0)[/mm]. Die Tangenten in diesen Punkten sind parallel zur [mm]y[/mm]-Achse, besitzen also keine wohldefinierte Steigung mehr.)
Da [mm](a,b)[/mm] auf dem Einheitskreis liegt, gilt
(1) [mm]a^2 + b^2 = 1[/mm]
Die Kreistangente in [mm](a,b)[/mm] besitzt [mm](a,b)[/mm] als Normalenvektor, also eine Normalform der Gestalt [mm]ax+by = c[/mm]. Die Punktprobe mit [mm](x,y) = (a,b)[/mm] liefert [mm]c = a^2 + b^2[/mm], wegen (1) also
(2) [mm]ax + by = 1[/mm]
als Tangentengleichung. Differenziert man diese Gleichung nach [mm]x[/mm], erhält man:
(3) [mm]a + by' = 0[/mm]
Fasse (2),(3) als lineares Gleichungssystem in [mm]a,b[/mm] auf und löse es. Du bekommst so [mm]a,b[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x,y,y'[/mm]. Setzt du die Ergebnisse in (1) ein, so findest du die Differentialgleichung der Kreistangenten. Ich habe
[mm]1 + y'^{\, 2} = (y - x y')^2[/mm]
erhalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 01.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Leopold_Gast,
besten Dank für deine Antwort.
LG, Martinius
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