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| Aufgabe | Geben sie alle Lösunngen der DGl an
y''''-6y''+10y= 0 |
Hab als erstes substituiert und dann abc Formel verwendet,
damit komme ich auf
[mm] u_1_2 [/mm] = +- [mm] \wurzel{3+i} [/mm] und
[mm] u_3_4 [/mm] = +- [mm] \wurzel{3-i}
[/mm]
In der angegebenen Lösung wird jetzt anscheind auf polare Koordinaten gewechselt (weiss nicht was ich machen würde bei der rücksubstitution(wurzel aus i))
[mm] \phi [/mm] = arctan(1/3) und |c| = [mm] 10^\frac{1}{4}
[/mm]
soweit ist es mir noch klar.
Allerdings werden daraus jetzt 4 Lösungen ( die Anzahl ist mir klar, bei 2 ergebnissen die ich ja jeweils rücksubstituieren müsste)
[mm] c_1 [/mm] = [mm] 10^\frac{1}{4}*e^\frac{i*\phi}{2}
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] 10^\frac{1}{4}*e^\frac{i*\phi+2pi}{2}
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = [mm] 10^\frac{1}{4}*e^\frac{-i*\phi}{2}
[/mm]
[mm] c_4 [/mm] = [mm] 10^\frac{1}{4}*e^\frac{-i*\phi+2pi}{2}
[/mm]
Die einzelnen Lösungen sind dann noch nach cos und sin umgeformt.
Könnte mir das jemand erklären ?
Danke !
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Hallo Traumfabrik,
> Geben sie alle Lösunngen der DGl an
>
> y''''-6y''+10y= 0
> Hab als erstes substituiert und dann abc Formel
> verwendet,
>
> damit komme ich auf
>
> [mm]u_1_2[/mm] = +- [mm]\wurzel{3+i}[/mm] und
> [mm]u_3_4[/mm] = +- [mm]\wurzel{3-i}[/mm]
>
> In der angegebenen Lösung wird jetzt anscheind auf polare
> Koordinaten gewechselt (weiss nicht was ich machen würde
> bei der rücksubstitution(wurzel aus i))
>
> [mm]\phi[/mm] = arctan(1/3) und |c| = [mm]10^\frac{1}{4}[/mm]
>
> soweit ist es mir noch klar.
>
> Allerdings werden daraus jetzt 4 Lösungen ( die Anzahl ist
> mir klar, bei 2 ergebnissen die ich ja jeweils
> rücksubstituieren müsste)
>
> [mm]c_1[/mm] = [mm]10^\frac{1}{4}*e^\frac{i*\phi}{2}[/mm]
>
> [mm]c_2[/mm] = [mm]10^\frac{1}{4}*e^\frac{i*\phi+2pi}{2}[/mm]
>
> [mm]c_3[/mm] = [mm]10^\frac{1}{4}*e^\frac{-i*\phi}{2}[/mm]
>
> [mm]c_4[/mm] = [mm]10^\frac{1}{4}*e^\frac{-i*\phi+2pi}{2}[/mm]
>
> Die einzelnen Lösungen sind dann noch nach cos und sin
> umgeformt.
>
> Könnte mir das jemand erklären ?
>
Es ist doch:
[mm]u_{12}^{2} = 3+i=\wurzel{10}*e^{i*arctan(1/3)}[/mm]
[mm]u_{34}^{2} = 3-i=\wurzel{10}*e^{-i*arctan(1/3)}[/mm]
> Danke !
>
Gruss
MathePower
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Weiss nicht genau wie ich deine Antwort interpretieren soll.
Was du gepostet hast stimmt
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Hallo Traumfabrik,
> Weiss nicht genau wie ich deine Antwort interpretieren
> soll.
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> Was du gepostet hast stimmt
Aus meinem Posting ergeben sich die [mm]c_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]
Gruss
MathePower
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Ok gut :)
Wie würde denn dann die allgemeine Lösung der DGL aussehen?
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Hallo Traumfabrik,
> Ok gut :)
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> Wie würde denn dann die allgemeine Lösung der DGL
> aussehen?
Die Lösungsfunktionen haben die Gestalt
[mm]e^{a*x}*\sin\left(b*x\right), \ e^{a*x}*\cos\left(b*x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Ich bekomme ja als Lösungen ein Produkt, wie teile ich das bitte in a und b auf?
Ich kenne nur das ich den Realteil einer Lösung als Exponent nehme und den imaginärteil in die sin- bzw cosinus Funktion packe
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Hallo Traumfabrik,
> Ich bekomme ja als Lösungen ein Produkt, wie teile ich das
> bitte in a und b auf?
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Die Lösungen [mm]c_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm] sind komplex.
Sowohl Real- als auch Imaginärteil dieser komplexen Lösungen
stellen Lösungen der DGL dar.
> Ich kenne nur das ich den Realteil einer Lösung als
> Exponent nehme und den imaginärteil in die sin- bzw
> cosinus Funktion packe
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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