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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] y'=(x+y)^{2}
[/mm]
substituiere u(x)=x+y(x) [mm] \Rightarrow u'=u^{2}+1
[/mm]
also ist u=tan(x+c)
zu beantwortende Frage: Warum sind dies alle Lösungen? |
Hallo, ich weiß nicht so recht, wie man diese Frage beantworten soll.
Dies sind doch alle Lösungen, weil man hier das c in Betracht zieht und so eine Menge Lösungen mit einschließt. Wie kann ich beweisen, dass nur der Tangens diese Ableitung besitzt?
Lg
kreide
PS: mir ist klar, das die allgemeine lösung y=tan(x+c)-x ist
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> [mm]y'=(x+y)^{2}[/mm]
> substituiere u(x)=x+y(x) [mm]\Rightarrow u'=u^{2}+1[/mm]
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> also ist u=tan(x+c)
>
> zu beantwortende Frage: Warum sind dies alle Lösungen?
> Hallo, ich weiß nicht so recht, wie man diese Frage
> beantworten soll.
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> Dies sind doch alle Lösungen, weil man hier das c in
> Betracht zieht und so eine Menge Lösungen mit einschließt.
> Wie kann ich beweisen, dass nur der Tangens diese Ableitung
> besitzt?
>
> Lg
> kreide
>
> PS: mir ist klar, das die allgemeine lösung y=tan(x+c)-x
> ist
Hallo Kreide,
die Lösung "also ist u=tan(x+c)" ist doch irgendwie sehr
kurz und steht ohne weitere Begründung da.
Gehen wir von der Gleichung [mm] u'=u^{2}+1 [/mm] aus:
[mm] \bruch{du}{dx}=u^2+1
[/mm]
Man kann sie auch so (separiert) schreiben:
[mm] \bruch{du}{u^2+1}=dx
[/mm]
Beidseitige Integration liefert:
[m]\ arctan(u)=x+C[/m]
Da drin stecken alle möglichen Lösungen; die einzige
Möglichkeit der Variation liegt in der Wahl der Integra-
tionskonstanten C.
Geht man jetzt zur Gleichung
[m]\ u\ =\ tan(x+C)[/m]
über, so hat man, weil die Tangensfunktion nicht
injektiv ist, nochmals eine unendliche Vielfalt von
Wahlmöglichkeiten, weil [mm] tan(x+C)=tan(x+C+z*\pi)
[/mm]
für alle [mm] z\in \IZ. [/mm] Aber auch [mm] C+z*\pi [/mm] ist eine Konstante,
und deshalb beinhaltet die Gleichung
[m]\ u\ =\ tan(x+C)[/m] [mm] (C\in \IR)
[/mm]
nach wie vor alle Lösungen.
Schliesslich sollte man die Substitution rückgängig
machen: Wegen u(x)=x+y(x) haben wir
[m]\ y(x)\ =\ u(x)-x\ =\ tan(x+C)-x[/m]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Kreide |
HAllo Al-Chw.
danke für deine hilfe. ich dachte man kann davon ausgehen, dass man weiß, dass (tan u)'=1+(tan [mm] u)^2 [/mm] ist.
Aber wie du'S gemacht hast ist schon irgendwie besser 
Danke noch mal!
Lg
kreide
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> HAllo Al-Chw.
>
> danke für deine hilfe. ich dachte man kann davon ausgehen,
> dass man weiß, dass (tan u)'=1+(tan [mm]u)^2[/mm] ist.
Auch wenn man das weiß, ist eben (wie du richtig vermutet
hast) nicht von vornherein klar, dass es nicht noch andere
Funktionen f mit der Eigenschaft [mm] f'(x)=1+\left(f(x)\right)^2 [/mm] geben könnte.
> Aber wie du'S gemacht hast ist schon irgendwie besser
> Danke noch mal!
> Lg
> kreide
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