DGL duch trennung der Variable < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Fr 30.05.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Die DGL duch trennung der Variablen zu lösen
$y' [mm] (1+x^2)=xy$ [/mm] |
also das thema ist neuland für mich ^^
die allgemeine form der dgl ist ja :
$y' + f (x)*y=0$
demnach wäre aus $y' [mm] (1+x^2)=xy$ [/mm]
$y' = [mm] \bruch{xy}{1+x^2}$ [/mm] also $y' - [mm] \bruch{xy}{1+x^2}= [/mm] 0$ bzw $y' - [mm] y\underbrace{\bruch{x}{1+x^2}}_{=f(x)}= [/mm] 0$
[mm] $\underbrace{\bruch{dy}{dx} }_{y'} [/mm] = [mm] \bruch{xy}{1+x^2}$
[/mm]
und nach der trennung währe es:
[mm] $\bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^2} [/mm] dx$
ist die überlegung soweit ok ?
ich bekomme nach einschlißenden integration komische sachen raus die von dem ergebniss [mm] ($y=\bruch{x+C-1}{x+C}$) [/mm] sehr abweichen :-(
mfg
masa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa!
> und nach der trennung währe es:
>
> [mm]\bruch{dy}{y} = \bruch{x}{1+x^2} dx[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hierher alles richtig!
Wie sieht denn Dein nächster Schritt / die Integration aus?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Fr 30.05.2008 | | Autor: | masa-ru |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\integral{ \bruch{dy}{y}} = \integral\bruch{x}{1+x^2} dx} $
$ln| y | = \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1) + ln| C | $
$ln| y | - ln| C | = \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1)$
$ln| \bruch{y}{C} | = \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1)$
$\bruch{y}{C} = e^{ \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1)}$
$y = e^{ \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1)} *C$
das \bruch{1}{2} * ln (x^2 + 1) ist ja mit * verknüpft sonst bei + hätte man das in einzelne terme lösen können (in der potenz) wobei wieder was anderes hätte als das ergebniss :-(
was mach ich falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa!
Du kannst den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] auch in den Logarithmus ziehen gemäß dem  Logarithmusgesetz:
[mm] $$r*\log_b(a) [/mm] \ = \ [mm] \log_b\left(a^r\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 30.05.2008 | | Autor: | masa-ru |
danke Loddar
denn kenne ich nu immer andersrum angewand :-(
dann wäre aus $ [mm] \bruch{y}{C} [/mm] = [mm] e^{ \bruch{1}{2} \cdot{} ln (x^2 + 1)} [/mm] $
$ [mm] \bruch{y}{C} [/mm] = [mm] e^{ln ((x^2 + 1)^{\bruch{1}{2} })} [/mm] $
bzw:
$ [mm] \bruch{y}{C} =(x^2 [/mm] + [mm] 1)^{\bruch{1}{2} } [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 + 1}$
[/mm]
$y= [mm] \wurzel{x^2 \red{+} 1} [/mm] *C$
und nu ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo masa-ru,
damit hast Du doch die DGL gelöst. Anfangsbedingungen waren ja nicht gegeben.
Viele Grüße,
Infinit
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