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| Aufgabe | | Bestimme eine Lösung für die DGL [mm] L\cdot \frac{dy}{dt}+yR=0 [/mm] mit Anfangsbedingung [mm] \varphi(0)=0. [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe war eigentlich mal eine inhomogene DGL, mich interessiert aber nur der homogene Teil, also die homogene Lösung.
Mir ist im Grunde vollkommen klar wie das geht. Ich habe nur ein Problem mit der Anfangsbedingung bzw. der Stammfunktion.
Normalerweise trenne ich einfach die Variablen bis zu folgendem Schritt:
[mm] -\frac{R}{L}\cdot dt=\frac{dy}{y}
[/mm]
Jetzt ist klar, dass ich integrieren muss. Nach unserer Vorlesung sieht das dann so aus:
[mm] -\frac{R}{L}\int^0_t{dt}=\int^\varphi_0{\frac{dy}{y}}
[/mm]
Jetzt kommt das besagte Problem. Die untere Grenze des Integrals auf der rechten Seite hat als untere Grenze 0 nach Anfangsbedingung. Nun ist aber gerade die Stammfunktion davon ln, also ergibt die rechte Seite: [mm] [ln(\frac{1}{y})]_{0}^{\varphi}. [/mm] Das kann ich nicht weiter ausrechnen, weil ln(0) nicht existiert.
Ich hab dann erst einfach für die Null eine beliebige Variabel eingesetzt und dann weitergemacht, nur dann erfüllt mein Ergebnis anschließend nicht die Anfangsbedingung, ist also falsch.
Wenn ich es auf die Physiker-Methode mache, dann passt es zwar:
Also einfach so: [mm] \frac{R}{L}\cdot dt=\frac{dy}{y} [/mm] da die Stammfunktionen bilden:
[mm] \frac{R}{L}t=K\cdot [/mm] ln(y) wobei K die Integrationskonstante ist, die man berechnen kann mit der Anfangsbedingung.
Mit dieser Methode passt dann sogar die Lösung der inhomogenen DGL am Ende.
Mein eigentliches Problem ist garnicht mal so sehr diese Beispielaufgabe, sondern allgemein der erste Rechenweg, wenn mal wieder ein ln vorkommt. Es kann doch nicht sein, dass ich dann immer auf die Physiker-Methode zurückgreifen muss. Das muss doch auch mit meinem Satz aus der Vorlesung gehen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Di 29.09.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
deine Dgl ist doch y'=-R/L*y aus y(0) folgt y'(0)=0 und alle weitern Ableitungen 0 also hat man direkt nur y=0 als Loesung zu dem Anfangswert.
Bei deiner division durch y hast du diese Loesung ja nicht beruecksichtigt, denn sonnst duerftest du ja nicht dividieren.
Drum kannst du diese Loesung auch nicht finden!
Warum da [mm] \phi(0)=0 [/mm] steht versteh ich nicht!
Gruss leduart
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