DGL im R^3 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im [mm] \IR^3 [/mm] sind ein DGL-System und drei Lösungen [mm] x_{1},x_{2} ,x_{3} [/mm] gegeben.
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1\\ -10 & -5 & -1 }*x(t)=x'(t)
[/mm]
[mm] x_{1}(t)=\pmat{ cos 2t \\ -2(sin(2t)+cos(2t)) \\-4cos(2t)+2sin(2t) } ,x_{2}(t)=\pmat{2 \\ -4\\ 0},x_{3}(t)=\pmat{sin^2(t) \\ sin(2t)-2sin^2(t)\\ -2+4cos^2(t)-sin(2t)}
[/mm]
a)Prüfen Sie mit dem Wronski-Test, ob die Lösungen linear unabhängig sind.
b)Ermitteln Sie mit den angegebenen Lösungen die Lösung x(t) mit [mm] x(\bruch{\pi}{2})=\pmat{ 5 \\10 \\4 } [/mm] |
Zu Aufgabe a)
Muss ich erst die Determinate ermitteln um zu zeigen, dass ich den Wronski-Test anwenden kann?
In diesem Beispiel benötige ich doch n=3 lineare unabhängige Lösungen d.h
[mm] \lambda_{1}*x_{1}+\lambda_{2}*x_{2}+\lambda_{2}*x_{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0
[/mm]
Wronski:
A(t) [mm] *\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
A(t) ist die Wronski Matrix.
Das LGs A(t) [mm] *\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] ist genau lösbar wenn [mm] det(W(t)\not=0)
[/mm]
Im diesem Fall: [mm] [x_{1} x_{2} x_{3}]*\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
Habe jedenfalls Probleme die detA(t) zu berechnen.
Ich weiß, dass wie die Determinate berechne aber ich habe Probleme cos(t) sin(2t) [mm] cos^2(t) [/mm] etc zusammen zufassen. Vielleicht irgendwelche Tipps?
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Hallo Theoretix,
> Im [mm]\IR^3[/mm] sind ein DGL-System und drei Lösungen [mm]x_{1},x_{2} ,x_{3}[/mm]
> gegeben.
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1\\ -10 & -5 & -1 }*x(t)=x'(t)[/mm]
>
> [mm]x_{1}(t)=\pmat{ cos 2t \\ -2(sin(2t)+cos(2t)) \\-4cos(2t)+2sin(2t) } ,x_{2}(t)=\pmat{2 \\ -4\\ 0},x_{3}(t)=\pmat{sin^2(t) \\ sin(2t)-2sin^2(t)\\ -2+4cos^2(t)-sin(2t)}[/mm]
>
> a)Prüfen Sie mit dem Wronski-Test, ob die Lösungen linear
> unabhängig sind.
> b)Ermitteln Sie mit den angegebenen Lösungen die Lösung
> x(t) mit [mm]x(\bruch{\pi}{2})=\pmat{ 5 \\10 \\4 }[/mm]
> Zu Aufgabe
> a)
>
> Muss ich erst die Determinate ermitteln um zu zeigen, dass
> ich den Wronski-Test anwenden kann?
> In diesem Beispiel benötige ich doch n=3 lineare
> unabhängige Lösungen d.h
> [mm]\lambda_{1}*x_{1}+\lambda_{2}*x_{2}+\lambda_{2}*x_{2}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0[/mm]
>
> Wronski:
>
> A(t) [mm]*\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> A(t) ist die Wronski Matrix.
>
> Das LGs A(t) [mm]*\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
> ist genau lösbar wenn [mm]det(W(t)\not=0)[/mm]
>
> Im diesem Fall: [mm][x_{1} x_{2} x_{3}]*\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\\lambda_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> Habe jedenfalls Probleme die detA(t) zu berechnen.
>
> Ich weiß, dass wie die Determinate berechne aber ich habe
> Probleme cos(t) sin(2t) [mm]cos^2(t)[/mm] etc zusammen zufassen.
Das kommt als Determinante nicht heraus.
Vereinfache die Lösung [mm]x_{3}\left(t\right)[/mm] derart, daß
[mm]x_{3}\left(t\right)=\overrightarrow{a}*\sin\left(2*t\right)+\overrightarrow{b}*\cos\left(2*t\right)[/mm]
da steht.
> Vielleicht irgendwelche Tipps?
Gruss
MathePower
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Ich habe doch auch keine Determinate aufgeschrieben, wie kannst du dann sagen, dass das nicht raus kommt wenn ich kein Ergebnis hingeschrieben habe? Das mit [mm] x_{3}=... [/mm] kann ich nicht nachvollziehen. Es hat die Form [mm] x_{3}(t)=\pmat{sin^2(t) \\ sin(2t)-2sin^2(t)\\ -2+4cos^2(t)-sin(2t)} [/mm] wie kommst du da jetzt auf $ [mm] x_{3}\left(t\right)=\overrightarrow{a}\cdot{}\sin\left(2\cdot{}t\right)+\overrightarrow{b}\cdot{}\cos\left(2\cdot{}t\right)$ [/mm] ?
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Hallo Thomyatberlin,
> Ich habe doch auch keine Determinate aufgeschrieben, wie
> kannst du dann sagen, dass das nicht raus kommt wenn ich
> kein Ergebnis hingeschrieben habe? Das mit [mm]x_{3}=...[/mm] kann
> ich nicht nachvollziehen. Es hat die Form
> [mm]x_{3}(t)=\pmat{sin^2(t) \\ sin(2t)-2sin^2(t)\\ -2+4cos^2(t)-sin(2t)}[/mm]
> wie kommst du da jetzt auf
> [mm]x_{3}\left(t\right)=\overrightarrow{a}\cdot{}\sin\left(2\cdot{}t\right)+\overrightarrow{b}\cdot{}\cos\left(2\cdot{}t\right)[/mm]
> ?
Nun, weil sich die erste Lösung auch so ergibt.
Gruss
MathePower
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