DGL in Form Integralableitung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 19.01.2014 | | Autor: | natural |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bzgl einer gewöhnlichen DGL erster Ordnung, die in folgender Form gegeben ist:
[mm] \integral_{0}^{x}{(x-t) y(t) dt} [/mm] = 2x + [mm] \integral_{0}^{x}{y(t) dt}
[/mm]
Die Ableitung der rechten Seite sollte folgendes ergeben:
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (2x + [mm] \integral_{0}^{x}{y(t) dt} [/mm] ) = 2+ y(x) + c
Die linke Seite multipliziere ich aus
[mm] \integral_{0}^{x}{(x-t) y(t) dt}=x*\integral_{0}^{x}{y(t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{x}{t*y(t) dt} [/mm]
Mein Problem ist nun der Teil - [mm] \integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}
[/mm]
Da die Variable t als Produkt vorkommt, muss hier offensichtlich partiell integriert werden, jedoch bin ich bis jetzt nicht auf die Lösung in meinen Mitschriften gekommen.
Jemand ne Idee??
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Hallo natural,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
> ich habe eine Frage bzgl einer gewöhnlichen DGL erster
> Ordnung, die in folgender Form gegeben ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{(x-t) y(t) dt}[/mm] = 2x +
> [mm]\integral_{0}^{x}{y(t) dt}[/mm]
>
> Die Ableitung der rechten Seite sollte folgendes ergeben:
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (2x + [mm]\integral_{0}^{x}{y(t) dt}[/mm] ) = 2+ y(x)
> + c
>
>
> Die linke Seite multipliziere ich aus
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{(x-t) y(t) dt}=x*\integral_{0}^{x}{y(t) dt}[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}[/mm]
>
> Mein Problem ist nun der Teil - [mm]\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}[/mm]
>
> Da die Variable t als Produkt vorkommt, muss hier
> offensichtlich partiell integriert werden, jedoch bin ich
> bis jetzt nicht auf die Lösung in meinen Mitschriften
> gekommen.
>
> Jemand ne Idee??
Schau Dir dazu die ![[]](/images/popup.gif) Leibnizregel für Parameterintegrale an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 19.01.2014 | | Autor: | natural |
Hallo MathePower,
danke für die Antwort und den Link.
Die vorgeschlagene Leibnizregel für Parameterintegrale ist relevant für Integrale mit mehreren Veränderlichen.
Das Integral [mm] -\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt} [/mm] ist jedoch nur von dem Parameter t abhängig.
Oder seh ich da was falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:10 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: ist f stetig und F(x)= $ [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] $, so ist F'(x)=f(x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 20.01.2014 | | Autor: | natural |
> Allgemein: ist f stetig und F(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm],
> so ist F'(x)=f(x)
>
> FRED
Das ist mir schon klar, aber wie macht man das bei
[mm] (\bruch{d}{dx})(-\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Allgemein: ist f stetig und F(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm],
> > so ist F'(x)=f(x)
> >
> > FRED
>
> Das ist mir schon klar, aber wie macht man das bei
> [mm](\bruch{d}{dx})(-\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt})[/mm] ?
Es gilt nach partieller Integration:
[mm] \integral{t*y(t) dt}=\frac{1}{2}t^2*y(t)-\frac{1}{2}\integral{t^2*y'(t) dt}
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 21.01.2014 | | Autor: | natural |
> Es gilt nach partieller Integration:
>
> [mm]\integral{t*y(t) dt}=\frac{1}{2}t^2*y(t)-\frac{1}{2}\integral{t^2*y'(t) dt}[/mm]
>
> Jetzt du!
>
>
> DieAcht
Ist es nicht sinnvoller
[mm] \integral_{0}^{x}{t*y(t) dt} [/mm] = [mm] [t*\bruch{1}{2}*y^2(t)] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{x}{y^2(t) dt}
[/mm]
zu rechnen? Denn in deinem Ansatz führt [mm] \integral{t^2*y'(t) dt} [/mm] wieder zu einer partiellen Integration.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Di 21.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Es gilt nach partieller Integration:
> >
> > [mm]\integral{t*y(t) dt}=\frac{1}{2}t^2*y(t)-\frac{1}{2}\integral{t^2*y'(t) dt}[/mm]
>
> >
> > Jetzt du!
> >
> >
> > DieAcht
>
> Ist es nicht sinnvoller
> [mm]\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}[/mm] = [mm][t*\bruch{1}{2}*y^2(t)][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{x}{y^2(t) dt}[/mm]
> zu rechnen? Denn in deinem Ansatz führt
> [mm]\integral{t^2*y'(t) dt}[/mm] wieder zu einer partiellen
> Integration.
Nein, das bringt hier auch nicht.
Genauso wie mein Ansatz nichts bringt.
Ich dachte, dass man mit dreifacher partiellen Integration dann weiterkommt, aber ich habe mich geirrt.
Antwort unten von dem Kollegen ist richtig 
Gruß
DieAcht
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Hiho,
> > Allgemein: ist f stetig und F(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm],
> > so ist F'(x)=f(x)
> >
> > FRED
>
> Das ist mir schon klar, aber wie macht man das bei
> [mm](\bruch{d}{dx})(-\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt})[/mm] ?
Genau so, wie von Fred beschrieben!
Sei h(t) = ty(t), dann steht da oben ja
[mm](\bruch{d}{dx})(-\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt}) = - (\bruch{d}{dx})(\integral_{0}^{x}{h(t) dt})[/mm]
Und jetzt einfach obiges anwenden.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Allgemein: ist f stetig und F(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm],
> > so ist F'(x)=f(x)
> >
> > FRED
>
> Das ist mir schon klar, aber wie macht man das bei
> [mm](\bruch{d}{dx})(-\integral_{0}^{x}{t*y(t) dt})[/mm] ?
Ich kann mir es nicht verkneifen. Aber ist es eine so gewaltige Anstrengung, obiges auf $f(t):=t*y(t)$ anzuwenden ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:25 Mi 22.01.2014 | | Autor: | natural |
> Ich kann mir es nicht verkneifen. Aber ist es eine so
> gewaltige Anstrengung, obiges auf [mm]f(t):=t*y(t)[/mm] anzuwenden
> ?
>
> FRED
Wenn ich es könnte, hätte ich die Frage wohl kaum gestellt.
Ich kann nicht beurteilen ob Sie ein Einzelfall sind, aber warum bekommt man auf eine Frage eine Frage als Antwort?
Pusht das Ihr Ego auf ?
natural
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Fr 24.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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