DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 20.04.2017 | | Autor: | calabi |
Hallo zusammen,
könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg der DGL
[mm] \bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const. [/mm] (mit Produktregel: [mm] \bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.)
[/mm]
mit der Lösung [mm] v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2 [/mm] darstellen?
Wie kommt man auf die Lösung?
Grüße
calabi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 20.04.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo zusammen,
Huhu,
>
> könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg
> der DGL
>
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const.[/mm] (mit
> Produktregel:
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.)[/mm]
>
Die Produktregel wuerde ich hier nicht anwenden. Macht alles nur komplizierter als noetig.
> mit der Lösung [mm]v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2[/mm]
> darstellen?
>
> Wie kommt man auf die Lösung?
Das bekommen wir bestimmt zusammen hin. So schwierig ist das gar nicht :)
Diese Gleichung kann man schrittweise loesen, indem man jeweils $r$ auf die rechte Seite, die am Anfang ja konstant ist, bringt und dann integriert.
Also erster Schritt: $r$ nach rechts und integrieren :)
Das bekommst du auch alleine hin!
>
> Grüße
> calabi
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 21.04.2017 | | Autor: | calabi |
Hi Chris,
ohne Produktregel erhalte ich folgendes:
[mm] \bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const.
[/mm]
[mm] \bruch{r^2}{2}\bruch{dv_z}{dr}+c_1=r*const.
[/mm]
[mm] \bruch{dv_z}{dr}=\bruch{2}{r}*const.-c_1
[/mm]
[mm] v_z=2*ln(r)+c_2-c_1
[/mm]
Kannst mir bitte sagen, wo ich den Fehler gemacht habe? Offensichtlich stimmt die Lösung nicht.
Grüße
calabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 21.04.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Hi Chris,
Huhu,
>
> ohne Produktregel erhalte ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const.[/mm]
Bis hierhin sieht das gut aus.
> [mm]\bruch{r^2}{2}\bruch{dv_z}{dr}+c_1=r*const.[/mm]
Hmm, was hier jedoch passiert, entzieht sich meiner Kenntnis....
> [mm]\bruch{dv_z}{dr}=\bruch{2}{r}*const.-c_1[/mm]
> [mm]v_z=2*ln(r)+c_2-c_1[/mm]
>
> Kannst mir bitte sagen, wo ich den Fehler gemacht habe?
Jap.
> Offensichtlich stimmt die Lösung nicht.
>
> Grüße
> calabi
Du hast also
[mm] $\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const$
[/mm]
Nun kommt es darauf an, wie ausfuehrlich man das machen will oder aufschreiben muss, aber ich wuerde nun beide Seiten nach $r$ integrieren. Fuer die linke Seite: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Naja, und rechts hast du doch einfach [mm] $\int [/mm] r dr$.
Hilft das?
Gruss,
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Fr 21.04.2017 | | Autor: | leduart |
Edit Tipfehler berichtigt
Hallo
woher kommt denn das [mm] r^2/2?
[/mm]
wenn du d/dr(1/rdv/dr) integrierst hast du einfach r*dv/dr denn [mm] \integral [/mm] d/dr(F(r)dr=F(r) egal was F ist. also hast du [mm] 1/r*dv/dr)=c*r+c_1
[/mm]
und damit dv/dr=...
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Sa 22.04.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo
Huhu,
> woher kommt denn das [mm]r^2/2?[/mm]
> wenn du d/dr(dv/dr) integrierst hast du einfach r*dv/dr
Du meinst bestimmt, dass man dann dv/dr bekommt :)
> denn [mm]\integral[/mm] d/dr(F(r)dr=F(r) egal was F ist. also hast
> du [mm]1/r*dv/dr)=c*r+c_1[/mm]
Auch die Loesung [mm] $\frac{1}{r} \frac{dv}{dr}=c\cdot r+c_1$ [/mm] erschliesst sich mir leider nicht....
> und damit dv/dr=...
> Gruß ledum
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Sa 22.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo,
ich hab das vergessene 1/r in meinem post ergänzt. Danke für die Mitteilung.
ich hoffe, damit ist alles klar.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Sa 22.04.2017 | | Autor: | calabi |
Alles verstanden. Vielen Dank Chris84 & leduart.
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Hallo calabi,
mit Deinem Ansatz kommt man auch zur Lösung.
> Hallo zusammen,
>
> könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg
> der DGL
>
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const.[/mm] (mit
> Produktregel:
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.)[/mm]
>
> mit der Lösung [mm]v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2[/mm]
> darstellen?
>
> Wie kommt man auf die Lösung?
>
> Grüße
> calabi
[mm]r*\bruch{d^2v}{dr^2}+\bruch{dv}{dr}=C*r[/mm]
Substitution: v' = a v'' = a'
(1) [mm] $r*a'+a\;=\;C*r$
[/mm]
Zunächst die homogene Gleichung lösen: [mm] $r*a'+a\;=\;0$
[/mm]
[mm] $a'\;=\;-\frac{a}{r}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{a}\;da\;=\;-\int \frac{1}{r}\;dr$
[/mm]
[mm] $ln|a|\;=\;-ln|r|+ln(D)$
[/mm]
(2) [mm] $a\;=\;\frac{D}{r}$ [/mm] Nun Variation der Konstanten: [mm] $a\;=\;\frac{D_{(r)}}{r}$ [/mm]
[mm] $a'\;=\;\frac{r*D'-D}{r^2}$ [/mm] Einsetzen in (1):
[mm] $\frac{r*D'-D}{r}+\frac{D}{r}\;=\;C*r$
[/mm]
[mm] $D'\;=\;C*r$
[/mm]
[mm] $\int dD\;=\;\int C*r\;dr$
[/mm]
[mm] $D\;=\;C*\frac{r^2}{2}+E$ [/mm] Einsetzen in (2):
[mm] $a\;=\;\frac{C*r^2/2+E}{r}$ [/mm] Resubstitution:
[mm] $v'\;=\;\frac{C}{2}*r+\frac{E}{r}$
[/mm]
[mm] $\int dv\;=\;\int \left(\frac{C}{2}*r+\frac{E}{r} \right)\;dr$
[/mm]
[mm] $v\;=\; \frac{C}{4}*r^2+E*ln|r|+F$
[/mm]
Hoffentlich ohne allzuviele Fehler.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Sa 22.04.2017 | | Autor: | calabi |
Danke Martinius!
Wahrscheinlich wäre ein Potenzreihenansatz eine weiter Möglichkeit die DGL zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Sa 22.04.2017 | | Autor: | Martinius |
Hallo calabi,
> Danke Martinius!
>
> Wahrscheinlich wäre ein Potenzreihenansatz eine weiter
> Möglichkeit die DGL zu lösen.
Oder evtl. auch mittels Laplace-Transformation ?
LG, Martinius
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